10. Применение прямого метода Ляпунова. Метод А. И. Лурье в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем.
Задача о достаточных условиях абсолютной устойчивости управляемых систем, описываемых уравнениями вида (1), впервые была поставлена и изучена А. И. Лурье [59] при помощи прямого метода Ляпунова. Для этого была предложена функция Ляпунова следующего вида:
(6.118)
Здесь
(6.119)
где 
— матрица-строка, полученная транспонированием вектора 
, а 
— квадратная матрица типа 
, элементы которой постоянны. Функция 
является квадратичной формой переменных 
. Если оказывается возможным выбрать матрицу Н так, чтобы 
была положительной квадратичной формой, а производная 
от функции Ляпунова (118), определяемая в силу уравнений (1), была отрицательной знакоопределенной функцией, то рассматриваемая система асимптотически устойчива.
Соотношение между методами А. И. Лурье и 
. Попова изучалось в работах 
. Попова [73], В. А. Якубовича [95], М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [3].
Для рассмотренного выше основного случая окончательный результат получен в работе В. А. Якубовича [95], где доказана теорема о том, что условие В.М. Попова (36) является для основного случая необходимым и достаточным условием существования функций Ляпунова вида (118).
Из этой теоремы следует, что если абсолютная устойчивость системы (1) может быть установлена при помощи функции Ляпунова вида (118), то существует такое действительное положительное число 
что условие (36) теоремы 
. Попова выполняется. Таким образом, теорема В.М. Попова охватывает всю совокупность систем вида (1), абсолютная устойчивость которых может быть установлена при помощи функции Ляпунова вида (118).
