2. Установившиеся колебания с частотой внешней силы и их устойчивость.

Частное решение уравнений (32)

соответствует в исходных переменных согласно (20) следующему решению:

Решение (34) представляет собой вынужденные колебания системы, то есть установившиеся колебания с частотой v внешней силы.

Для определения значений и будем в соответствии с (32) иметь следующую систему конечных (вообще трансцендентных) уравнений:

Корни уравнений (35) и являются интересующими нас величинами .

Исключая из системы уравнений (35), получим следующее уравнение относительно а:

Если обозначить

то уравнение (36) примет вид

Из уравнения (38) для каждого заданного значения v определяются r (где r — число корней уравнения) значений амплитуд вынужденных колебаний, которые возможны в системе при воздействии на нее внешней периодической силы, период которой равен .

Для каждого значения можно найти из уравнений (35) соответствующие ему значения и , по которым и определяется значение .

Уравнение определяет собой на плоскости кривую зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы. Эта кривая называется резонансной кривой.

Рис. 9.1.

Некоторые возможные виды резонансных кривых приведены на рис. 9.1. Как видно из выражения (37), в точках оси абсцисс функция принимает отрицательные значения

На резонансной кривой функция обращается в нуль. По непрерывности можно заключить, что в области, заключенной между осью абсцисс и резонансной кривой, функция отрицательна, а вне этой области положительна, как это отмечено на рис. 9.1.

Из соотношения (38) следует, что в точках резонансной кривой

Укажем теперь точки резонансной кривой, в которых обращается в нуль.

1) Пусть в некоторой точке . Тогда в силу соотношения (39) в этой точке . Таким образом, в этой точке , то есть рассматриваемая точка является особой.

2) Пусть в некоторой точке . Если в этой точке , то в силу соотношения (39) будем иметь . Рассматриваемая точка, следовательно, является точкой резонансной кривой, в которой касательная вертикальна. (Такая точка отмечена на рис. 9.1 буквой .)

Во всех остальных точках резонансной кривой . При этом, как следует из расположения областей, в которых функция положительна, и областей, в которых она отрицательна, лишь в точках дуги, расположенной выше точки (рис. 9.1) на левой ветви резонансной кривой,. В остальных точках резонансной кривой .

Как указано выше, рассматриваемые установившиеся движения с частотой внешней силы (то есть вынужденные колебания) определяются частным решением (33) уравнений (32). Обратимся теперь к исследованию устойчивости этих движений.

Пусть

(9.40)

где и удовлетворяют уравнениям (35).

Подставив величины (40) в уравнения (32) и разложив правые части этих уравнений в ряды Тейлора в окрестности точки , получим

Согласно (35)

Учитывая соотношения (42) и сохраняя в уравнениях (41) лишь члены первого порядка относительно 6 а и 69, получим следующие уравнения в вариациях:

Уравнения (43) являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Заменяя в этих

уравнениях и их значениями (42), можно привести уравнения (43) к виду

Характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений (44) будет следующим:

где

Рассматриваемые установившиеся движения (то есть вынужденные колебания) будут асимптотически устойчивыми, если и , определяемые уравнениями (44), будут асимптотически стремиться к нулю при . Последнее будет иметь место, если корни характеристического уравнения (45) будут удовлетворять условию

Для того же, чтобы условие (48) имело место, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Если хотя бы один из коэффициентов или будет отрицательным, то рассматриваемое установившееся движение будет неустойчивым.

Выполнение условия можно проверить, вычислив по формуле (46).

О выполнении же условия можно судить непосредственно по резонансной кривой. Это следует из того, что согласно (37) и (47)

Таким образом, знак совпадает со знаком в точке . Знак же определяется по виду резонансной кривой, как это описано выше.

Из соотношения (50), в частности, следует, что все точки дуги расположенной выше точки на левой ветви резонансной кривой (рис. 9.1) соответствуют неустойчивым вынужденным колебаниям, так как в любой из этих точек .