6. Построение функции.

Функция согласно (45) имеет вид

(10.57)

где - соответствующий интерполяционный полином, определяемый выражением (46). Формула (57) в соответствии с (46) может быть представлена в следующем виде:

(10.58)

где — степень минимального полинома матрицы А.

Пусть матрица А имеет, например, следующий вид:

(10.59)

Характеристическая матрица будет

Определитель характеристической матрицы равен

Присоединенная матрица имет вид

Общий наибольший делитель элементов присоединенной матрицы

Минимальный полином матрицы А согласно (25) будет следующим:

Согласно (40) значения функции на спектре матрицы А будут

Интерполяционные условия согласно (44) имеют следующий вид:

где

Так как согласно (47) для рассматриваемой здесь матрицы А

то интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра согласно (50) будет

или

Это выражение можно переписать так:

(10.61)

где

Следовательно, для рассматриваемой здесь (59) матрицы А, учитывая, что (где Е — единичная матрица), будем иметь

(10.62)

Покажем теперь, что входящие в выражение (58) функции линейно независимы. Рассмотрим сначала случай, когда все характеристические числа матрицы А — простые. В этом случае формула (58) принимает вид

(10.63)

Согласно (44) для функции , которая определена на спектре матрицы А, в случае, когда все характеристические числа матрицы А простые, интерполяционные условия будут

Так как согласно (45) по определению функции от матрицы

то, учитывая (63), получим следующую систему скалярных уравнений:

или

Обозначая через матрицы

будем иметь следующее векторное уравнение:

Элементы вектора являются линейно-независимыми функциями. Определитель матрицы М является определителем Вандермонда и, следовательно, . Поэтому существует обратная матрица и, таким образом,

Так как , то , то есть строки матрицы будут линейно-независимыми. Поэтому элементы вектора , то есть функции , будут линейно-независимыми функциями.

Аналогичное доказательство можно провести и в случае, когда среди характеристических чисел матрицы А имеются кратные.

Вернемся теперь к нашему примеру. Так как

то в соответствии с (62) матрица будет иметь следующий вид:

(10.64)

Заметим еще, что выражение (61) для интерполяционного полинома можно для матрицы (59) переписать так:

(10.65)

где

(10.66)

При этом согласно (57) матрица будет представлена так:

(10.67)

где

(10.68)

Нетрудно видеть, что если вместо ем взять другую функцию , то в соответствии с определением (45) функции от матрицы получим, что для матрицы А, определяемой согласно (59), функция будет иметь следующий вид:

(10.69)

Здесь суть нули минимального полинома , определяемого выражением (60), кратности которых соответственно равны .