§ 4. Функция веса и переходная функция стационарной линейной системы

1. Одномерная управляемая система.

Стационарными линейными системами называются системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Дальнейшее изложение будет относиться к замкнутым управляемым системам. Пусть дифференциальное уравнение, описывающее процессы в замкнутой управляемой системе, имеет вид

Здесь — искомая функция (сигнал на выходе системы), — заданная функция времени (сигнал на входе системы), а и — полиномы от оператора дифференцирования :

Коэффициенты полиномов (2) предполагаются постоянными. Кроме того, здесь предполагается, что . Для решения дифференциального уравнения (1) можно применить методы операционного исчисления. Обозначим

Так как изображение будет

то линейные дифференциальные выражения и будут иметь следующие изображения:

где

Входящий в выражения (4) и (6) оператор определяется соотношением

Дифференциальному уравнению (1) соответствует согласно (5) следующее уравнение в изображениях:

Отсюда найдем, что

Обозначая через

передаточную функцию системы (1), можно выражение (9) переписать так:

Обозначим теперь через и оригиналы для следующих изображений:

Так как функции и в силу сделанного выше предположения о том, что степень полинома ниже степени полинома , являются правильными дробями, то оригиналы и будут иметь следующий вид:

Здесь через s обозначено число несовпадающих между собой корней характеристического уравнения

через обозначена кратность корня , а через обозначена функция

В числе корней характеристического уравнения (16) могут быть как действительные, так и комплексные корни. Так как коэффициенты полиномов (2) являются действительными, то в число корней уравнения (16) комплексные корни будут входить сопряженными парами. Поэтому функции и могут принимать только действительные значения, и при наличии комплексных корней у уравнения (16) функции и можно привести к явной действительной форме, на чем мы здесь останавливаться не будем [17].

На основании теоремы об умножении изображений

Таким образом, согласно (11), (12) и (18) при заданных начальных условиях закон движения системы, описываемой уравнением (1), будет следующим:

Отсюда можно найти и закон изменения во времени остальных фазовых координат системы: .

Аналогично изложенному в § 1 (формула ) функцию , которая определена здесь операционным соотношением (13), будем называть функцией веса одномерной управляемой системы, описываемой скалярным дифференциальным уравнением (1).

Обратимся теперь к физической интерпретации функции . Пусть

(4.20)

то есть на вход системы подана единичная импульсивная функция (дельта-функция Дирака). Уравнение (1) принимает теперь вид

Так как оригиналу

соответствует изображение

то есть

то, учитывая, что согласно (5)

найдем, что дифференциальному уравнению (21) будет соответствовать следующее уравнение в изображениях:

Из уравнения (23) следует, что

так как согласно (10) . При нулевых начальных условиях

будем согласно (4) и (6) иметь

Таким образом, при нулевых начальных условиях выражение (24) принимает вид

Учитывая операционное соотношение (13), получим отсюда, что

Таким образом, функция веса представляет собой закон движения, который, при нулевых начальных условиях, совершает система под воздействием единичной импульсивной функции . Заметим теперь, что операционное соотношение (13), при помощи которого определена функция , в соответствии с теоремой о построении оригинала по изображению, определяет эту функцию лишь при . Таким образом, выражение (15), которым определена функция , имеет место лишь при . Так как согласно (25) при система находилась в покое, то в соответствии с (27) мы должны принять, что

Для того чтобы найти еще одну важную динамическую характеристику системы, называемую переходной функцией, рассмотрим случай, когда входной сигнал является единичной ступенчатой функцией

Исходное дифференциальное уравнение (1) принимает вид

Оригиналу

соответствует изображение

то есть

Из соотношений (32) и (5) следует, что дифференциальному уравнению (30) соответствует следующее уравнение в изображениях:

откуда получим, что

При нулевых начальных условиях (25) , и выражение (34) принимает вид

Обозначим через оригинал, изображением которого является функция :

Из соотношения (35) следует, что

Таким образом, функция , которая определена операционным соотношением (36), представляет собой закон движения, который при нулевых начальных условиях совершает система под воздействием единичной ступенчатой функции .

Функция называется переходной функцией системы.

Найдем теперь зависимость между функцией веса и переходной функцией. Заметим, что так как степень полинома ниже степени полинома , то

По теореме о начальном значении оригинала

и в соответствии с (38)

Изображение производной от функции

совпадает с изображением (13) функции . Таким образом, функция веса и переходная функция связаны соотношением

Найдем теперь явное выражение функции . Для этого представим изображение функции в виде суммы элементарных дробей. Так как

то разложение функции на сумму элементарных дробен будет следующим:

Так как

то оригинал для изображения (42) будет иметь вид

Как нетрудно проверить,

и поэтому выражение (44) переходной функции можно переписать так:

Из изложенного можно заключить, что передаточная функция , функция веса и переходная функция являются основными, эквивалентными друг другу динамическими характеристиками управляемой системы.