2. Одномерная управляемая система, у которой передаточная функция является неправильной дробью.

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

2. Одномерная управляемая система, у которой передаточная функция является неправильной дробью.

Рассмотрим теперь систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением

где

причем .

Передаточная функция рассматриваемой системы

может быть представлена в следующем виде:

где — целая часть дробно-рациональной функции (т. е. некоторый полином от ), а — правильная дробь, которая получается после выделения из целой части. Обозначая, как и выше (5),

будем иметь

где

В соответствии с (51) будем иметь следующее уравнение в изображениях:

Отсюда

Нетрудно видеть, что функция также является

неправильной дробью. Действительно, согласно (52) будем иметь

Так как согласно (49) и (50)

то выражение (55) можно преобразовать к виду

Первое слагаемое в правой части выражения (57) является целой функцией (полиномом от ). Второе слагаемое является дробно-рациональной функцией от , причем правильной дробью. Заметим, что поскольку является полиномом от , знаменатель во втором слагаемом в правой части выражения (57) сокращается.

Выражение (57) можно переписать так:

где

а - правильная дробь, определяемая вторым слагаемым в правой части выражения (57).

Функцию можно представить в виде суммы элементарных дробей в следующем виде [17]:

Оригинал, изображением которого является функция , обозначим через :

Учитывая соотношение (45), представим функцию в виде

Выражение (54), которым определена функция , можно при помощи (58) и (50) представить так:

Учитывая соотношение (59) найдем, что

Оригинал для изображения обозначим через :

Аналогично (62) функция будет иметь следующий вид:

Так как

то в соответствии с (63) закон движения системы, описываемой уравнением (47), будет следующим:

Обратимся теперь к скалярному дифференциальному уравнению

где — единичная импульсивная функция (дельта-функцня Дирака).

Аналогично (22)

Так как согласно (51)

то дифференциальному уравнению (69) будет соответствовать следующее уравнение в изображениях:

откуда

Согласно (49) и (50) выражение (72) можно переписать так:

При нулевых начальных условиях

функция согласно (4) и (6) обращается в нуль

и выражение (73) принимает вид

где согласно (50)

Так как является полиномом от , то

Учитывая еще соотношение (65)

найдем, что изображению соответствует следующий оригинал:

где

В соответствии с (75) и (77)

Таким образом, функция представляет собой закон движения, который при нулевых начальных условиях совершает управляемая система под воздействием единичной импульсивной функции .

Функцию , определяемую операционным соотношением (77), можно назвать функцией веса одномерной управляемой системы, описываемой скалярным дифференциальным уравнением (47).

Как и в п. 1, выражение (78) определяет функцию лишь при . Так как при система находилась в покое, то, в соответствии с (79) мы должны принять, что

Рассмотрим теперь уравнение

Аналогично (32)

Учитывая соотношение (51), получим соответствующее дифференциальному уравнению (81) уравнение в изображениях

откуда

или согласно (49) и (50)

При нулевых начальных условиях (74)

функция и выражение (84) принимает вид

где согласно (50)

Функция является полиномом от , и поэтому

Оригинал, изображением которого является функция через :

В соответствии с (46) и (66) функция будет иметь следующий вид:

Таким образом, изображению будет соответствовать следующий оригинал:

где

В соответствии с (85) и (89)

и, следовательно, функция представляет собой закон движения, который при нулевых начальных условиях совершает управляемая система под воздействием единичной ступенчатой функции .

Функцию , определяемую операционным соотношением (89), можно назвать переходной функцией одномерной управляемой системы, описываемой скалярным дифференциальным уравнением (47).