2. Одномерная управляемая система, у которой передаточная функция является неправильной дробью.

Рассмотрим теперь систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением

где

причем .

Передаточная функция рассматриваемой системы

может быть представлена в следующем виде:

где — целая часть дробно-рациональной функции (т. е. некоторый полином от ), а — правильная дробь, которая получается после выделения из целой части. Обозначая, как и выше (5),

будем иметь

где

В соответствии с (51) будем иметь следующее уравнение в изображениях:

Отсюда

Нетрудно видеть, что функция также является

неправильной дробью. Действительно, согласно (52) будем иметь

Так как согласно (49) и (50)

то выражение (55) можно преобразовать к виду

Первое слагаемое в правой части выражения (57) является целой функцией (полиномом от ). Второе слагаемое является дробно-рациональной функцией от , причем правильной дробью. Заметим, что поскольку является полиномом от , знаменатель во втором слагаемом в правой части выражения (57) сокращается.

Выражение (57) можно переписать так:

где

а - правильная дробь, определяемая вторым слагаемым в правой части выражения (57).

Функцию можно представить в виде суммы элементарных дробей в следующем виде [17]:

Оригинал, изображением которого является функция , обозначим через :

Учитывая соотношение (45), представим функцию в виде

Выражение (54), которым определена функция , можно при помощи (58) и (50) представить так:

Учитывая соотношение (59) найдем, что

Оригинал для изображения обозначим через :

Аналогично (62) функция будет иметь следующий вид:

Так как

то в соответствии с (63) закон движения системы, описываемой уравнением (47), будет следующим:

Обратимся теперь к скалярному дифференциальному уравнению

где — единичная импульсивная функция (дельта-функцня Дирака).

Аналогично (22)

Так как согласно (51)

то дифференциальному уравнению (69) будет соответствовать следующее уравнение в изображениях:

откуда

Согласно (49) и (50) выражение (72) можно переписать так:

При нулевых начальных условиях

функция согласно (4) и (6) обращается в нуль

и выражение (73) принимает вид

где согласно (50)

Так как является полиномом от , то

Учитывая еще соотношение (65)

найдем, что изображению соответствует следующий оригинал:

где

В соответствии с (75) и (77)

Таким образом, функция представляет собой закон движения, который при нулевых начальных условиях совершает управляемая система под воздействием единичной импульсивной функции .

Функцию , определяемую операционным соотношением (77), можно назвать функцией веса одномерной управляемой системы, описываемой скалярным дифференциальным уравнением (47).

Как и в п. 1, выражение (78) определяет функцию лишь при . Так как при система находилась в покое, то, в соответствии с (79) мы должны принять, что

Рассмотрим теперь уравнение

Аналогично (32)

Учитывая соотношение (51), получим соответствующее дифференциальному уравнению (81) уравнение в изображениях

откуда

или согласно (49) и (50)

При нулевых начальных условиях (74)

функция и выражение (84) принимает вид

где согласно (50)

Функция является полиномом от , и поэтому

Оригинал, изображением которого является функция через :

В соответствии с (46) и (66) функция будет иметь следующий вид:

Таким образом, изображению будет соответствовать следующий оригинал:

где

В соответствии с (85) и (89)

и, следовательно, функция представляет собой закон движения, который при нулевых начальных условиях совершает управляемая система под воздействием единичной ступенчатой функции .

Функцию , определяемую операционным соотношением (89), можно назвать переходной функцией одномерной управляемой системы, описываемой скалярным дифференциальным уравнением (47).

Заметим, что так как правильная дробь, то , и, следовательно, . Поэтому

Учитывая еще, что

будем иметь

что совпадает с изображением (77) функции . Отсюда получаем аналогичную соотношению (40) связь между функцией веса и переходной функцией :

Пример. В качестве примера рассмотрим систему, описываемую следующим дифференциальным уравнением:

Здесь

В соответствии с выражением (68) решение уравнения (96) будет

Согласно (78) функция веса системы имеет следующий вид:

Для системы, описываемой дифференциальным уравнением (96), функция принимает вид

Множитель введен в выражение (98), чтобы явно отметить, что при .