5. Частотные характеристики управляемых систем и их экспериментальное определение.

Как показано в п. 2, для применения критерия Найквиста при построении конформного отображения фактически требуется построить лишь отображение . А так как согласно (6)

(3.29)

то для возможности применения критерия Найквиста требуется лишь знание частотных характеристик звеньев системы. Поскольку - дробно-рациональная функция от D, коэффициенты которой действительны, то ; поэтому достаточно определить функцию лишь на интервале .

Рассмотрим теперь возможность экспериментального определения частотной характеристики звена, описываемого векторным дифференциальным уравнением вида

(3.30)

Пусть матрица типа , -мерный вектор,

матрица типа , -мерный вектор.

Из уравнения (30) следует, что

(3.31)

где

(3.32)

Рис. 3.6.

Матричная передаточная функция рассматриваемого звена (рис. 3.6) является матрицей типа .

Пусть входной сигнал имеет вид

(3.33)

где А — -мерный вектор. Векторное дифференциальное уравнение (30) теперь принимает вид

(3.34)

Полагая, что не является корнем характеристического уравнения , будем искать частное решение уравнения (34) в виде

(3.35)

Подставляя выражение (35) в уравнение (34), найдем, что

(3.36)

Таким образом,

(3.37)

Элемент вектора можно записать так:

(3.38)

Обозначим через и модуль и аргумент комплексной величины :

(3.39)

Функция , как указывалось выше, называется частотной характеристикой или амплитудно-фазовой частотной характеристикой; функция —амплитудная частотная характеристика; функция -фазовая частотная характеристика. Функция

называется действительной частотной характеристикой, а функция

называется мнимой частотной характеристикой.

В соответствии с (39) можно представить частное решение (38) в следующем виде:

(3.40)

Как ясно из изложенного выше, матрица

(3.41)

является матричной частотной характеристикой рассматриваемого здесь звена.

Опишем теперь эксперимент, при помощи которого можно определить матрицу .

Пусть у вектора А в выражении (33) лишь один элемент , а элементы . При этом выражение (40) принимает вид

.

Производя измерения сигнала на выходе системы (после затухания собственных колебаний системы), найдем значения и ). Повторяя эксперимент при , и т. д., можно построить графики функций и . Таким образом, при помощи описанного эксперимента мы найдем элементы первого столбца матрицы (41), т. е. функции

Обращаясь теперь ко второй серии экспериментов, отличающейся от первой серии лишь тем, что теперь , а , по данным измерений найдем элементы второго столбца матрицы (41), т. е. функции

Выполнив серий экспериментов описанным методом, найдем всю матрицу :

Таким образом, необходимые для применения критерия Найквиста частотные характеристики отдельных звеньев , следовательно, и всей разомкнутой управляемой системы) могут быть найдены из эксперимента. Это является существенным в случаях, когда полное аналитическое описание некоторых звеньев или значения некоторых параметров звеньев и т. п. неизвестны. При этом, однако, должна быть уверенность в том, что данное звено описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.