2. Теорема Гамильтона — Кэли.

Рассмотрим матрицу . Характеристической матрицей для матрицы A называется матрица . Определитель характеристической матрицы

представляет собой скалярный полином относительно и называется характеристическим полиномом матрицы А. Корни уравнения называются характеристическими числами матрицы A.

Через обозначим алгебраическое дополнение элемента в определителе . Матрица является присоединенной матрицей для матрицы .

Из приведенных выше определений следуют следующие тождества относительно :

(10.7)

(10.8)

Так как

(10.9)

то

(10.10)

есть полином от с матричными коэффициентами. Матрицу также можно представить в виде полинома от с матричными коэффициентами.

Равенства (7) и (8) показывают, что делится слева и справа на без остатка. Согласно обобщенной теореме Безу это возможно лишь тогда, когда остаток равен нулю. Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема Гамильтона — Кэли. Всякая квадратная матрица A удовлетворяет своему характеристическому уравнению, то есть

(10.11)