2. Характеристический определитель замкнутой управляемой системы.

Входной сигнал z и помеха представляют собой некоторые (заранее неизвестные) функции времени

При изучении устойчивости системы рассматриваются лишь ее собственные движения. Полагая , получим из (1) уравнения собственных колебаний системы

(2.2)

Операционная матрица для системы уравнений (2) будет

(2.3)

Матрица является коагулированной (блочной) матрицей. Для того чтобы найти определитель матрицы , проделаем следующие элементарные преобразования. Умножим вторую строку матрицы слева на матрицу — матрица, обратная для матрицы и сложим вновь полученную строку с первой строкой. Мы получим тогда треугольную матрицу , эквивалентную матрице :

(2.4)

Так как определители эквивалентных матриц отличаются лишь постоянным множителем, то, с точностью до постоянного множителя, определитель операционной матрицы будет

(2.5)

Выражение в квадратных скобках в формуле (5) можно преобразовать

(2.6)

где

(2.7)

(2.8)

Здесь через , обозначена единичная матрица типа . Через обозначена присоединенная матрица для матрицы , а является определителем матрицы :

Из выражении (7) видно, что матрица типа матрица типа квадратная матрица типа .

Матрица является матричной передаточной функцией звена .

Таким образом, выражение (5) принимает вид

(2.9)

Так как определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей и, кроме того, определители коммутативны при умножении, то выражение (9) можно переписать так:

(2.10)

Определитель (10) представляет собой характеристический определитель замкнутой управляемой системы.

Характеристическое уравнение замкнутой управляемой системы будет следующим:

(2.11)

Замкнутая управляемая система будет асимптотически устойчивой, если все корни характеристического уравнения , то есть все нули функции , будут расположены левее мнимой оси на плоскости комплексного переменного .