2. Получение уравнения Гамильтона — Якоби из принципа Гамильтона.

Принцип Гамильтона состоит в том, что для действительного движения между двумя заданными в моменты времени и t конфигурациями системы (речь идет о положении системы в пространстве , а не в фазовом пространстве) интеграл (где L — функция Лагранжа) имеет стационарное значение. Это стационарное значение обозначим через .

В силу уравнений движения системы

(16.14)

стационарность интеграла обеспечивается.

Можно, однако, принять другую точку зрения.

Пусть пространство конфигураций системы (14) есть фазовое пространство другой системы, описываемой уравнениями

(16.15)

где

(16.16)

есть известная функция своих переменных. Таким образом, вид функций в правых частях уравнений (15) известен.

Действительное движение доставляет интегралу стационарное значение. Поэтому можно мысленно отождествить с такими управлениями в системе

(16.17)

которые доставляют экстремум интегралу , то есть с оптимальными управлениями в системе (17).

По доказанному выше входящие в соотношение (13) функции уже являются оптимальными управлениями. Поэтому соотношение (13) для системы, описываемой уравнениями (17), можно представить в виде

Как известно, функция Гамильтона для системы (14) имеет вид

(16.19)

Учитывая, что

(16.20)

и выражая через канонические переменные

(16.21)

приведем функцию Н к каноническим переменным

(16.22)

Уравнение (18) можно переписать так:

(16.23)

Дифференцируя по левую и правую части соотношения (18), найдем

Поэтому если в выражениях (21) заменить аргументы через

(16.24)

то получим

(16.25)

Заменяя теперь в уравнении (23) выражениями (25), приведем уравнение (23) к виду

(16.26)

Уравнение в частных производных (26) и представляет собой уравнение Гамильтона — Якоби для механической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями (14).

Пример. В качестве примера рассмотрим систему с одной степенью свободы, у которой кинетическая энергия Т и потенциальная энергия T имеют следующий вид:

(16.27)

Функция Лагранжа здесь будет следующей:

(16.28)

Так как

(16.29)

то будем иметь

(16.30)

Согласно (19) в рассматриваемой задаче функция Гамильтона имеет вид

Подставляя в (31) вместо выражение (30), приведем функцию Гамильтона к каноническим переменным

Канонические уравнения движения системы

в соответствии с (32) принимают вид

Действие по Гамильтону в рассматриваемом примере будет следующей функцией:

Уравнение (17) в нашем примере согласно (34) и (30) принимает вид

Функционал (4), который здесь требуется минимизировать, в соответствии с (28) будет

(16.37)

Экстремальное значение функционала Q будет достигнуто при оптимальном управлении и , которое в соответствии с принципом Гамильтона должно быть выбрано следующим:

(16.38)

так как только при таком управлении действие будет удовлетворять условию .

При этом уравнение (13) принимает вид

Согласно (24), заменим в выражении (30) аргумент через

При такой замене выражение (30) примет вид

Подставляя в уравнение (39) вместо выражение (41), приведем уравнен (39) к виду

Уравнение (42) есть уравнение Гамильтона — Якоби для рассматриваемого примера.

Так как согласно (32) функция Гамильтона в рассматриваемом примере имеет вид

то уравнение (42) можно записать так: