9. Условие управляемости линейной нестационарной системы в задаче с подвижными концами.

Для системы, описываемой векторными уравнениями

(11.138)

где

(11.139)

рассмотрим задачу о приведении вектора к моменту времени в заданное состояние

(11.140)

Эта задача была изучена в п. 8 для линейных стационарных систем, где возможность выполнения соотношения (140) была названа управляемостью по .

Теорема. Пусть , где - фундаментальная матрица решений системы, описываемой однородным векторным дифференциальным уравнением

а через обозначена матрица

Линейная нестационарная система (138) вполне управляема по на отрезке времени если и только если матрица определяемая выражением (142), является положительно-определенной матрицей.

Доказательство теоремы.

. По условию теоремы матрица является положительно-определенной матрицей. Следовательно, она является неособой матрицей, то есть . Поэтому обратная матрица существует, и можно выбрать вектор управляющих сил в следующем виде:

(11.143)

Согласно (138) состояние системы в момент времени будет

(11.144)

При управлении в соответствии с (138) и (144) будем иметь

(11.145)

Так как

(11.146)

то выражение (145) принимает вид

Таким образом, управление , определяемое выражением (143), обеспечивает выполнение соотношения (140).

Заметим, что заданное выражением (143) управление , которое, как здесь доказано, приводит вектор в состояние не является единственным. Действительно, управление

(11.147)

где -любая -мерная вектор-функция, удовлетворяющая условию

(11.148)

так же, как это следует из (145), приводит вектор к моменту времени в состояние . Первая часть теоремы доказана.

. Доказательство второй части теоремы о том, что если система (138) вполне управляема по , то матрица будет положительно-определенной матрицей, полностью повторяет доказательство аналогичного утверждения для матрицы , приведенное в п. 6, раздел , стр. 195.