4. Автоколебательные системы. Метод точечных преобразований.

Перейдем теперь к рассмотрению систем, у которых, помимо сил, имеющих потенциал, и диссипативных сил, приложены еще силы, работа которых идет на пополнение энергии системы. По терминологии Кельвина такие силы называются искусственными силами. Наличие искусственных сил предполагает, что система связана с некоторым внешним источником энергии и при помощи искусственных сил из этого внешнего источника черпается энергия, идущая на пополнение энергии системы.

Рис. 8.8.

Если приложенные к системе диссипативные силы или искусственные силы (или и те и другие) являются нелинейными, то в системе могут возникнуть периодические колебания, параметры которых не зависят от начальных условий, а устанавливаются автоматически так, чтобы приращение энергии системы за один период колебаний оказалось равным нулю. Указанные периодические колебания (их называют также периодическими движениями) являются асимптотически устойчивыми периодическими частными решениями дифференциальных уравнений движения системы. Наряду с ними уравнения движения системы могут иметь также неустойчивые периодические частные решения. Асимптотически устойчивые периодические движения называются автоколебаниями; нелинейные системы, у которых имеют место такие движения, называются автоколебательными системами.

К числу хорошо изученных автоколебательных систем относятся часы, ламповые генераторы и др.

Мы рассмотрим здесь характерные свойства автоколебательных систем на примере лампового генератора.

Ламповый генератор предназначен для генерирования незатухающих колебаний в электрическом контуре, то есть для генерирования переменного тока высокой частоты. Основное применение он находит в радиотехнике. Схема лампового генератора изображена на рис. 8.8. Источником внешней энергии является анодная батарея , питающая электронную лампу (триод). В анодную цепь лампы включен электрический колебательный контур RLC. В цепь сетки электронной лампы включена катушка индуктивности. Коэффициент взаимной индукции между катушками индуктивности в цепи сетки лампы и анодной цепи обозначен через М. Как показано ниже, осуществляемая благодаря взаимной индукции связь между анодной цепью и цепью сетки лампы дозирует пополнение (из анодной батареи) энергии контура RLC так, чтобы в этом контуре компенсировались потери энергии в омическом сопротивлении и установились незатухающие колебания.

Для того чтобы составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет сила тока q в ветви LR колебательного контура, определим напряжение U на обкладках конденсатора. Обозначая через анодный ток, будем иметь

Так как эта величина равна падению напряжения на катушке самоиндукции L и омическом сопротивлении , то будет иметь место соотношение

Из соотношений (68) и (69) следует, что

Дифференцируя по t левую и правую части соотношения (70), получим следующее дифференциальное уравнение:

где

Анодный ток является функцией от управляющего напря жения :

График функции называется характеристикой лампы. Управляющее напряжение и имеет вид

где — разность потенциалов между сеткой лампы и катодом, — разность потенциалов между анодом и катодом. Через у обозначена проницаемость лампы. Характеристика лампы изображена на рис. 8.9. С возрастанием и анодный ток асимптотически приближается к току насыщения, величина которого обозначена через .

Рис. 8.9.

Рис. 8.10.

Параметры лампового генератора обычно таковы, что соотношение (74) можно аппроксимировать так:

Для упрощения вычислений аппроксимируем еще характеристику лампы ступенчатой функцией, показанной на рис. 8.10. Можно показать, что замена характеристики лампы ступенчатой функцией не искажает характера решений дифференциального уравнения (71). В случае необходимости можно уточнить полученные решения, аппроксимируя характеристику лампы (рис. 8.9) ломаной линией.

При аппроксимации характеристики лампы ступенчатой функцией будем, учитывая (75), иметь

Так как благодаря взаимной индукции катушек индуктивности в цепи сетки и анодной цепи

то соотношение (76) можно переписать так:

Таким образом, дифференциальное уравнение (71) принимает вид

Перейдем к интегрированию уравнения (79). Интегрирование будем вести по интервалам времени, в течение которых функция сохраняет постоянный знак. Пусть

Так как в последующем за моментом времени движении будет иметь отрицательный знак (что будет подтверждено ниже), то в соответствии с (78) надо обратиться к уравнению

При условии, что

решение уравнения (81), удовлетворяющее начальным условиям (80), будет следующим:

где

Из выражения (82) найдем, что

Таким образом, выражение (82) определяет собой закон движения системы на интервале времени , где

так как на этом интервале времени согласно (84) , что и предполагалось при обращении к уравнению (81).

В момент времени , функции и в соответствии с (82) принимают следующие значения:

где

Обозначая

получим согласно (86), что

На последующем за моментом времени интервале времени будет иметь положительный знак и в соответствии с (79) на этом интервале времени будет иметь место уравнение

которое надо проинтегрировать при начальных условиях

Решение дифференциального уравнения (90), удовлетворяющее начальным условиям (91), будет следующим:

Из выражения (92) найдем, что

Как следует из (93), на интервале времени , где

что и предполагалось при обращении к уравнению (90). Таким образом, выражение (92) определяет собой закон изменения q на интервале времени .

В момент времени функция обращается в нуль

Значение функции в момент времени будет согласно (92) следующим:

где

Принимая и в качестве фазовых координат системы, можно построить на фазовой плоскости (рис. 8.11) траекторию изображающей точки, определяемую выражениями (82), (84), (92) и (93).

Мы рассмотрели один цикл движения изображающей точки на фазовой плоскости (рис. 8.11) и установили зависимости (88) и (97) между последовательными амплитудами и с для этого цикла.

Из изложенного выше нетрудно видеть, что эти зависимости имеют место и для последующих циклов, если, разумеется, под а, b и с понимать соответствующие амплитуды для рассматриваемого последующего цикла. Обозначая

можно переписать соотношения (88) и (97) так:

Рис. 8.11.

Соотношения (99) можно рассматривать как формулы точечного преобразования, преобразующие точки оси абсцисс фазовой плоскости в точки той же оси, где — номер цикла, описываемого выражениями (82) и (92). Уравнения (99) можно также рассматривать как уравнения прямых соответственно на плоскостях и (рис. 8.12). Эти прямые при совмещении плоскостей и пересекаются в точке, координаты которой

(8.100)

Значения А и В, определяемые из уравнений

(8.101)

будут следующими:

(8.102)

Рис. 8.12.

Точка оси абсцисс является инвариантной точкой точечного преобразования, определяемого соотношениями (99). Если , то, перемещаясь по фазовой траектории, изображающая точка, по прошествии одного цикла, вновь приходит в точку (так как ), то есть описывает на фазовой плоскости замкнутую траекторию (рис. 8.13). Последующее движение изображающей точки будет происходить по той же фазовой траектории, то есть функция будет изменяться по периодическому закону. Заметим, что величины А и В зависят лишь от параметров системы, но не от начальных условий движения. В этом существенное отличие найденного здесь периодического движения от либрационных движений консервативной системы.

Рис. 8.13.

Рис. 8.14.

Соответствующий замкнутой фазовой траектории (рис. 8.13) график функции приведен на рис. 8.14. Так как согласно (102) , то центром колебаний является не точка , а некоторая точка . Подавая на сетку лампы (рис. 8.8) некоторое дополнительное постоянное напряжение (смещение), можно добиться симметричного расположения замкнутой фазовой траектории относительно оси ординат фазовой плоскости.

Изучим теперь движение изображающей точки в окрестности замкнутой фазовой траектории. Пусть

Тогда

Соотношения (99), связывающие последовательные амплитуды, принимают вид

(8.103)

Разлагая левые части соотношений (103) в ряды Тейлора в окрестности точки , получим

(8.104)

Ограничиваясь членами первого порядка относительно и и учитывая, что согласно (101)

(8.105)

получим следующие соотношения:

(8.106)

Так как согласно (98)

(8.107)

то соотношения (106) принимают вид

(8.108)

Отсюда

(8.109)

Как видно из рис. 8.11, если считать начальной амплитудой -го цикла, то будет начальной амплитудой -го цикла, то есть

(8.110)

Отсюда следует, что

(8.111)

Поэтому соотношение (109) можно переписать так:

(8.112)

Соотношение (112) представляет собой линейное уравнение в конечных разностях относительно вариации амплитуды . Дискретным аргументом искомой функции является номер цикла .

Так как согласно (87) , то

откуда следует, что фазовые траектории асимптотически приближаются к определяемой величинами (102) замкнутой фазовой траектории, показанной на рис. 8.13. Указанная фазовая траектория, таким образом, является устойчивым предельным циклом.

Этот предельный цикл и определяет собой автоколебания, которые генерирует ламповый генератор.