7. Одномерная управляемая система с конечным числом степеней свободы.

Рассмотренная в предыдущих разделах управляемая система с одной степенью свободы представляет собой простейший вид управляемой системы. Многие управляемые системы обладают не одной, а несколькими степенями свободы. Если назначением управляемой системы является обеспечение близости закона изменения во времени лишь одной из координат этой системы к некоторой (вообще, заранее неизвестной) функции времени , а к закону изменения во времени остальных обобщенных координат подобные требования не предъявляются, то такая управляемая система может быть названа одномерной.

Уравнения движения указанной управляемой системы будут иметь следующий вид:

(1.53)

Система скалярных дифференциальных уравнений (53) эквивалентна векторному дифференциальному уравнению

(1.54)

где через и обозначены матрицы

(1.55)

Уравнение (54) можно переписать так:

(1.56)

где через Е обозначена единичная матрица. Отсюда

(1.57)

где — присоединенная матрица для матрицы , а через обозначен определитель матрицы :

(1.58)

Из (57) следует, что

(1.59)

Таким образом, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет интересующая нас обобщенная координата будет иметь следующий вид:

(1.60)

где

(1.60)

Так как - алгебраическое дополнение элемента, расположенного на пересечении строки и столбца в определителе матрицы , то степень полинома ниже степени полинома . Полиномы и можно записать так:

(1.62)

У стационарной системы коэффициенты полиномов (62) , постоянны.

Аналогично изложенному выше у рассматриваемой здесь системы можно считать сигналом на выходе системы, — входным сигналом.

Для удобства сравнения с рассмотренными выше системами будем ниже вместо писать и перепишем уравнение (60) так:

(1.63)

где через обозначено рассогласование. Обозначая

(1.64)

можно преобразовать систему уравнений (63) к виду

или

(1.65)

Если обозначить

(1.66)

то уравнение (65) примет вид

(1.67)

Уравнение (67) представляет собой уравнение замкнутой одномерной управляемой системы с конечным числом степеней свободы (рис. 1.8). Функция является передаточной функцией замкнутой управляемой системы.

Так как, согласно (64) и (66)

то уравнение (67) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению:

(1.68)

Рис. 1.8.

Разомкнутая управляемая система здесь имеет вид, показанный на рис. 1.9. Уравнение движения разомкнутой системы будет

(1.69)

Учитывая выражение (64), можно привести уравнение (69) к виду

(1.70)

Уравнение (70) является уравнением разомкнутой управляемой системы, а функция — передаточная функция этой системы.