3. Доказательство теоремы о необходимом условии оптимальности (принципа максимума) в задаче с закрепленным временем Т и свободным концом траектории.

В общем случае доказательство принципа максимума является довольно сложным. Поэтому здесь мы ограничимся сравнительно простым частным случаем.

Рассмотрим систему, описываемую дифференциальными уравнениями

(17.30)

которым эквивалентно векторное дифференциальное уравнение

(17.31)

где и — векторы следующего вида:

(17.32)

Управление является кусочно-непрерывной вектор-функцией и должно удовлетворять ограничениям

(17.33)

Начальное состояние системы задано

(17.34)

Требуется найти управление , удовлетворяющее ограничениям (33) и доставляющее минимум функционалу

где Т — некоторая фиксированная величина.

Как и в п. 1, обозначим через скалярную функцию, определяемую дифференциальным уравнением

(17.36)

и начальным условием

(17.37)

Из (36), (37) и (35) следует, что

(17.38)

Обозначим здесь оптимальное управление через . Соответствующая этому управлению траектория будет оптимальной траекторией.

Оптимальное управление является вектором, координаты которого могут, как указано выше, иметь на отрезке разрывы первого рода в конечном числе точек.

Рассмотрим бесконечно малый интервал времени , где — бесконечно малая величина .

Дадим управлению вариацию, заменив на бесконечно малом интервале времени другим управлением и (не изменяя управления вне этого бесконечно малого интервала).

Заметим, что здесь не требуется, чтобы приращение , где было бесконечно малой величиной. Если ограничение (33) имеет, например, вид , то приращение , может принимать любое значение , где .

Однако так как — бесконечно малая величина, то импульс приращения управления будет величиной бесконечно малой.

Найдем вызываемое этим импульсом изменение траектории системы. В соответствии с уравнениями (30) и (36) будем иметь

Согласно (39) разность будет величиной того же порядка малости, что и . Отсюда следует, что также будет величиной того же порядка малости, что и . В силу этого соотношение (39) можно заменить следующим соотношением:

(17.40)

Введем теперь функции при помощи соотношений

(17.41)

Функции называются вариациями координат.

Как видно из (40), вариации имеют тот же порядок малости, что и . Поэтому при отыскании уравнений, которым удовлетворяют функции , будем пренебрегать величинами .

Согласно (40) и (41) в момент времени значения вариаций будут

(17.42)

На интервале времени управление и совпадает с оптимальным управлением . Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вариации можно получить следующим образом. Согласно (30), (36) и (41) будем иметь

(17.43)

Разлагая правые части (43) в ряды Тейлора в окрестности , получим

(17.44)

Согласно (30) и (36) первые слагаемые в левых и правых частях уравнений (44) взаимно сокращаются. Поэтому, отбрасывая в (44) члены, содержащие во второй и высших степенях, совокупность которых обозначена через , получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений относительно :

(17.45)

Дифференциальные уравнения (45), которым удовлетворяют вариации , называются уравнениями в вариациях.

Заметим, что если ввести матрицы

(17.46)

то систему скалярных дифференциальных уравнений (45) можно представить в виде эквивалентного векторного дифференциального уравнения

(17.47)

Матрица , транспонированная для матрицы , будет согласно (46) иметь следующий вид:

(17.48)

Через обозначим -мерный вектор

(17.49)

который удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению

(17.50)

Векторное дифференциальное уравнение (50) эквивалентно системе скалярных дифференциальных уравнений

(17.51)

Система дифференциальных уравнений (51) совпадает с системой уравнений (9), которая была введена в п. 1.

В соответствии с (47) и (50) имеет место следующее соотношение:

(17.52)

откуда следует, что

(17.53)

Полученное здесь соотношение (53) является известным соотношением Лагранжа для сопряженных систем линейных дифференциальных уравнений, каковыми по определению являются системы, представленные векторными уравнениями (47) и (50).

Согласно (38)

а так как оптимальное управление доставляет функционалу Q минимум, то при любом другом управлении, отличном от оптимального, имеет место неравенство

(17.54)

Зададим теперь для системы дифференциальных уравнений (51) следующие условия, которым должно удовлетворять решение уравнений (51) в момент времени (см. стр. 273):

(17.55)

При этом в соответствии с (54) и (55) будем иметь

(17.56)

В соответствии с (53) можно переписать неравенство (56) так:

(17.57)

Здесь

где - решение системы дифференциальных уравнений (51), удовлетворяющее условиям (55).

Значения известны — они определены выше выражениями (42). Подставляя эти выражения в неравенство (57), получим

Интервал времени есть тот интервал времени, на котором оптимальное управление было заменено другим управлением. Учитывая, что в , можно заменить неравенство (58) следующим неравенством:

Так как в качестве момента времени можно выбрать любой текущий момент времени , где — сколь угодно малая величина, то неравенство (59) можно представить так:

Выше (10) через Н была обозначена следующая функция переменных :

Поэтому неравенство (60) принимает следующий вид:

(17.61)

Заметим еще, что так как согласно (30) и (36)

то из (51) следует, что

(17.63)

откуда в соответствии с (55) найдем

(17.64)

Таким образом, для рассматриваемой здесь задачи доказано утверждение (16) теоремы 1. Доказана также первая часть утверждения (17) этой теоремы. Вторая часть утверждения (17) о том, что для любого значения t на отрезке требует отдельного доказательства.

Мы убедились, что если управление является оптимальным, то имеют место условия (61) и (64), то есть эти условия являются необходимыми условиями оптимальности.

Таким образом, для рассмотренного здесь частного случая доказано, что теорема 1 доставляет необходимые условия оптимальности.

Доказательство теоремы 1 для общей задачи оптимального управления дано в монографии [72].