2. Системы с одной управляющей силой.

Рассмотрим теперь систему, описываемую следующими скалярными дифференциальными уравнениями:

(11.27)

В отличие от системы уравнений (3), у рассматриваемой системы имеется лишь одна управляющая сила .

Вводя матрицы

(11.28)

можно заменить систему уравнений (27) векторным уравнением

(11.29)

Так как матрица , где — любое целое число, будет собой матрицу-столбец (вектор), то полученное в п. 1 условие управляемости может быть выполнено лишь в случае, когда степень минимального полинома матрицы А равна . Последнее имеет место, если все характеристические числа матрицы А являются простыми. Если среди характеристических чисел матрицы А имеются кратные, то степень минимального полинома будет равна лишь в случае, когда кратному характеристическому числу соответствует единственный элементарный делитель. Степень этого элементарного делителя равна тогда кратности характеристического числа.

У систем, в которых кратному характеристическому числу соответствует не один, а несколько элементарных делителей, степень минимального полинома . При наличии лишь одной управляющей силы условие управляемости у таких систем не выполняется.

Для систем, у которых

(11.30)

матрица (16) принимает вид

(11.31)

Элементы матрицы (31) являются -мерными векторами и условие управляемости системы состоит в том, что ранг матрицы Q должен быть равен .

Вектор (21) здесь принимает вид

(11.32)

Элементы вектора V являются скалярами.

Уравнение (22) в рассматриваемом здесь случае принимает вид

(11.33)

В случае, когда выполняется условие управляемости, то есть ранг матрицы Q равен , определитель матрицы Q будет отличен от нуля, и из уравнения (33) получим, что

где через обозначена обратная матрица.

В соответствии с (32) векторное соотношение (34) эквивалентно следующим скалярным соотношениям:

где — элементы вектора .

Управление и должно быть выбрано так, чтобы удовлетворялись условия (35), которые, однако, не определяют функцию однозначно.