11. Некоторые свойства функций от матриц.
Теорема 1. Пусть 
— полином относительно 
, 
функции от 
, которые определены на спектре матрицы А, а
(10.106)
Тогда, если на спектре матрицы А функция 
обращается в нуль
(10.107)
то будет иметь место следующее соотношение:
(10.108)
Доказательство. Обозначим через 
интерполяционные полиномы Лагранжа — Сильвестра для 
пусть
(10.109)
Так как на спектре матрицы А значения 
и 
совпадают, то из соотношения (107) следует, что
Но тогда из формулы (71) следует, что
(10.111)
или
что и требовалось доказать.
В качестве следствия из теоремы 1 рассмотрим следующие примеры.
. Пусть
Тогда
Так как на спектре любой матрицы 
для данной функции имеет место соотношение
то согласно (112)
или
(10.113)
. Пусть
Тогда
На спектре любой матрицы А для данной функции 
будем иметь
Поэтому согласно (112)
или
(10.114)
Из соотношения (114) следует, что обратная матрица 
имеет вид
(10.115)
. Пусть
Тогда
На спектре любой матрицы А для данной функции 
имеет место соотношение
Согласно (112) отсюда следует, что
(10.116)
или
. Пусть
Тогда
На спектре любой матрицы А для данной функции 
имеет место соотношение
Согласно (112) отсюда следует, что
или
Таким образом, теорема 1 указывает условия (107), при которых тождества, связывающие функции от скалярного переменного 
, могут быть распространены на матричные значения аргумента.
Теорему 1 можно усилить и доказать следующую теорему ([21], стр. 121).
Теорема 2. Пусть
где функции 
определены на спектре матрицы A, а функция 
есть результат последовательного применения к величинам 
операций сложения, умножения, умножения на число и замены величины произвольной функцией от нее. Тогда, если на спектре матрицы А функция 
обращается в нуль:
то иметь место следующее соотношение:
