§ 19. Задача с подвижными концами. Применение принципа максимума. Условия трансверсальности

Существует ряд задач, в которых конечное состояние системы задается на некотором множестве (плоскости, линии и т. п.) фазового пространства, а не в виде фиксированной точки в фазовом пространстве. Так, например, возможны задачи, в которых в конечный момент времени представляют интерес значения лишь некоторых фазовых координат системы .

Для остальных фазовых координат системы

допускаются произвольные значения в конечный момент времени .

Равным образом возможны задачи, в которых начальное состояние системы заранее не задается, а известно лишь, что точка принадлежит некоторому множеству фазового пространства.

Мы приходим, таким образом, к оптимальной задаче с подвижными концами, результаты решения которой, полученные в монографии [72], будут здесь приведены.

Прежде чем дать точную формулировку задачи, необходимо уточнить геометрические характеристики указанных выше множеств и [72]. Пусть — -мерное пространство с ортогональными координатами . Множество S точек , удовлетворяющих соотношению

называется гиперповерхностью пространства X, а соотношение (1) - уравнением этой гиперповерхности. Точка , удовлетворяющая соотношениям

(предполагается, что производные существуют), называется особой точкой гиперповерхности S. Таким образом, в особой точке вектор

равен нулю. Точки гиперповерхности S, в которых называются неособыми точками.

Гиперповерхность, определяемая уравнением (1) с непрерывно дифференцируемой левой частью и не содержащая особых точек, называется гладкой гиперповерхностью. (Все рассматриваемые ниже гиперповерхности предполагаются гладкими.)

Если уравнение (1) линейно, то есть имеет вид

то отсутствие особых точек означает, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. В этом случае гиперповерхность, определяемая уравнением (2), называется гиперплоскостью.

Вектор называется нормальным вектором гиперповерхности S в точке . В случае гиперплоскости нормальные векторы, как видно из (2), во всех точках одинаковы и имеют вид

Всякая гиперплоскость однозначно определяется заданием нормального вектора и одной точки, принадлежащей этой плоскости.

Пусть S — гладкая гиперповерхность, определяемая уравнением (1) и — некоторая ее точка. Гиперплоскость, проходящая через точку и имеющая вектор своей нормалью, называется касательной гиперплоскостью к гиперповерхности 5 в точке . Каждый вектор, начинающийся в точке и лежащий в касательной гиперплоскости, называется касательным вектором гиперповерхности S в точке .

Пусть теперь — гладкие гиперповерхности, заданные в пространстве X уравнениями

Пересечение М всех этих гиперповерхностей (то есть множество всех точек , удовлетворяющих одновременно всем уравнениям называется -мерным (гладким) многообразием в X, если выполнено следующее условие: в каждой точке векторы

линейно независимы.

Заметим, что по определению -мерное многообразие в X задается системой уравнений. В частности, -мерное многообразие задается одним уравнением вида (3), то есть является гиперповерхностью. Одномерные многообразия задаются уравнениями вида (3) и называются также линиями.

Если уравнения (3), определяющие — -мерное многообразие М, линейны, то многообразие М называется -мерной плоскостью пространства X. Одномерные плоскости называются также прямыми линиями.

Пусть М — гладкое — -мерное многообразие, которое определено в пространстве X уравнениями (3), и — некоторая его точка. Через обозначим касательную гиперплоскость к гиперповерхности в точке . Пересечение гиперплоскостей представляет собой -мерную плоскость, называемую касательной плоскостью многообразия М в точке . Вектор, исходящий из точки , тогда и только тогда лежит в касательной плоскости (то есть является касательным вектором многообразия М в точке , когда он ортогонален всем векторам (4).

Теперь можно дать точную формулировку рассматриваемом здесь оптимальной задачи.

Пусть и — гладкие многообразия произвольных (но меньших, чем ) размерностей расположенные в пространстве X (рис. 19.1). Требуется найти допустимое управление , которое переводит изображающую точку из некоторого (заранее не заданного) положения в некоторое положение и при этом придает заданному функционалу минимальное значение.

В случае, когда оба многообразия и вырождаются в точки, то задача с подвижными концами обращается в задачу с закрепленными концами.

Заметим теперь, что если бы точки и были известны, то мы бы имели задачу с закрепленными концами. Поэтому управление , оптимальное для задачи с подвижными концами, должно оставаться оптимальным, если трактовать точки и как известные, то есть принцип максимума (теорема 1, стр. 253) остается в силе и для задачи с подвижными концами.

Однако теперь нужны еще соотношения, из которых можно было бы положение точек и на многообразиях и .

Такими соотношениями являются условия трансверсальности, которые позволяют написать соотношении, включающих координаты концевых точек и .

Заметим, что число неизвестных параметров (по сравнению с задачей с закрепленными концами) также увеличилось на так как положение точки на многообразии определяется параметрами, а положение точки на многообразии М: определяется параметрами.

Условия трансверсальности будут следующими. Пусть — некоторые точки, а и — касательные плоскости многообразии и , проведенные в этих точках. -мерности плоскостей и , будут и соответственно.

Пусть - решение задачи с закрепленными концами и , а — вектор, существование которого утверждается в теореме 1 (стр. 253).

Рис. 19.1.

Условие трансверсальности в правом конце траектории (то, есть в точке состоит в том, что вектор ортогонален плоскости ). Иными словами, для любого вектора , принадлежащего плоскости , выполняется соотношение

Аналогичный смысл имеет условие трансверсальности в левом конце траектории (нужно лишь заменить и на и соответственно).

Так как в соотношение (5) можно подставить линейно независимых векторов , расположенных в плоскости , то условие трансверсальности в правом конце траектории доставляет независимых соотношений. Условие трансверсальности в левом конце доставляет независимых соотношений.

Таким образом, имеет место [72] следующая теорема.

Теорема. Пусть (-допустимое управление, переводящее изображающую точку из некоторого положения в положение ) - соответствующая траектория, исходящая из точки . Для того и давали решение оптимальной задачи с подвижными концами, необходимо существование ненулевой непрерывной вектор-функции удовлетворяющей условияму указанным в теореме 1 (стр. 253) и, кроме того, условию трансверсальности в обоих концах траектории .