8. Лемма 2.

Если три действительные функции при стремятся к нулю не медленнее экспонент (что мы будем обозначать так: ) и если их изображения Фурье

(6.62)

связаны зависимостью

(6.63)

где

(6.64)

при всех , то

(6.65)

где положительная постоянная С имеет конечное значение и определяется равенством

(6.66)

Доказательство. Так как , то можно применить формулу Парсеваля [17,90]

(6.67)

Подставляя вместо его значение (63), получим

(6.68)

Поскольку левая часть соотношения (68) действительна, то мнимая часть интеграла в правой части (68) равна нулю. Поэтому

(6.69)

Отбрасывая в правой части соотношения (69) первое слагаемое, которое всегда положительно, и учитывая, что согласно (64)

получим, что

(6.70)

то есть

(6.71)

Так как по условию леммы при функция стремится к нулю не медленнее экспоненты, то есть сходится, и согласно формуле Парсеваля

то выражение (71) принимает вид

(6.72)

что и требовалось доказать.