2. Интерпретация функции W(D).

Управляемой системе, собственные колебания которой описываются уравнениями (1), можно поставить в соответствие структурную схему, изображенную на рис. 6.2. Схема на рис. 6.2 представляет собой замкнутую управляемую систему, у которой в цепь обратной связи включен нелинейный элемент. Через обозначен входной сигнал.

Рис. 6.2.

Рассматриваемая схема будет описываться уравнением

(6.15)

откуда следует, что

(6.16)

В частном случае, когда

(6.17)

уравнение (16) принимает следующий вид:

(6.18)

или

(6.19)

Так как согласно (14)

(6.20)

то уравнение (19) можно переписать так:

(6.21)

Собственные колебания замкнутой управляемой системы при будут описываться однородным уравнением, которое получается из уравнения (21) при :

(6.22)

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (22), будет следующим:

(6.23)

В рассматриваемом здесь основном случае все нули полинома расположены в левой полуплоскости комплексного переменного .

Рис. 6.3.

Рис. 6.4.

Поэтому для того, чтобы при замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой, то есть характеристическое уравнение (23) не имело корней в правой полуплоскости , достаточно в соответствии с критерием Найквиста, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис. 6.3), или годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис. 6.4). Так как функции удовлетворяют условию (6), то принадлежащие к этому классу линейные функции удовлетворяют условию , или

(6.24)

Поэтому для того, чтобы замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой при любой функции , где , необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис. 6.5).

Рис. 6.5.

В случае, когда , имеем , то есть запретной зоной будет интервал . Само начало координат в запретную зону не включается, ибо мы рассматриваем функции с любым, сколь угодно большим, но конечным значением .