3. Многомерные управляемые системы.

а) Закон движения многомерной системы. Рассмотрим теперь замкнутую управляемую систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением

Здесь - -мерный вектор, элементы которого являются искомыми функциями, a - -мерный вектор, элементы которого являются заданными функциями времени:

Матрицы и являются полиномными матрицами, аргумент которых — оператор дифференцирования :

(4.101)

Коэффициенты полиномов и предполагаются постоянными.

Векторное уравнение (99) эквивалентно следующей системе скалярных уравнений:

(4.102)

Обозначим через порядок старшей производной от , встречающейся в уравнениях (102). Ранг системы уравнений (102) будет

(4.103)

Будем предполагать, что и что определитель из коэффициентов, с которыми входят в уравнения (102), отличен от нуля. При этом условии степень определителя матрицы будет равна рангу системы .

При сделанных предположениях начальные значения

не связаны между собой никакими зависимостями и могут задаваться произвольно.

Обозначая через присоединенную матрицу для матрицы можно представить уравнение (99) в виде

(4.104)

где

(4.105)

Функция является матричной передаточной функцией системы, описываемой уравнением (99).

Будем предполагать для общности, что функция является неправильной дробью, и обозначим через ее целую часть, а через -правильную дробь, которая получается после выделения из целой части. Таким образом,

Ниже нам потребуется одно соотношение, которое можно получить следующим образом. Умножая левую и правую части соотношения (106) слева на матрицу и учитывая, что , где — единичная матрица, будем иметь

(4.107)

Так как и являются целыми функциями (полиномами от , то из (107) следует, что является целой функцией (полиномом от ).

Найдем теперь решение уравнения (99). Обозначим

(4.108)

В соответствии с операционным соотношением (4) изображения векторных линейных дифференциальных выражений и будут

где и — векторы, которые имеют следующий вид:

Уравнение в изображениях, соответствующее дифференциальному уравнению (99), будет следующим:

(4.111)

откуда

(4.112)

Преобразуем теперь первое слагаемое в правой части соотношения (112). Подставляя вместо и их выражения (110), после несложных преобразований получим

Учитывая, что и, следовательно,

можно представить выражение (113) так:

(4.114)

Первое слагаемое в правой части выражения (114) является целой функцией (матричным полиномом от , а второе слагаемое является дробно-рациональной функцией от , причем правильной дробью. Заметим, что так как является целой функцией (матричным полиномом от , как это показано выше (107), то знаменатель во втором слагаемом в правой части выражения (114) сокращается.

Выражение (114) можно переписать так:

(4.115)

где

(4.116)

а - правильная дробь, определяемая вторым слагаемым в правой части выражения (114). Оригинал, изображением которого является функция , обозначим через :

(4.117)

Ниже потребуется еще следующее преобразование. Определитель матрицы можно представить так:

(4.118)

где

(4.119)

Таким образом, — нули полинома — их кратности.

Пусть общий наибольший делитель миноров (-го порядка матрицы , а — коэффициент при старшей степени в полиноме . Через обозначим следующий полином:

Полином является детерминантным делителем порядка полиномной матрицы .

Как известно [17, 21], функция

(4.120)

представляет собой полином следующего вида:

причем

Таким образом, нули полинома совпадают с нулями полинома , а кратности нулей полинома удовлетворяют условию (121). Полином является старшим инвариантным множителем матрицы , а двучлены — старшие элементарные делители этой матрицы.

В соответствии с (118) и (120)

Так как элементы матрицы являются алгебраическими дополнениями элементов определителя матрицы , то все элементы матрицы делятся на полином и матрицу можно представить так:

Матрица , таким образом, является полиномной матрицей. Из полученных здесь соотношений следует, что

где

то

(4.123)

Перейдем теперь к отысканию функции которая в соответствии с (117) является оригиналом для изображения . При этом в выражении (115) заменим согласно (122) через . Функция будет иметь следующий вид:

(4.124)

Здесь — число не совпадающих между собой нулей полинома , через обозначена кратность нуля , а через обозначена функция

(4.125)

Функция является -мерным вектором.

Выражение (112), которым определена функция , можно при помощи (115) и (106) представить так:

(4.126)

Учитывая соотношение (116), найдем, что

(4.127)

Как следует из изложенного, является полиномной матрицей типа , аргументом которой является оператор дифференцирования . Оригинал для изображения обозначим через :

(4.128)

Аналогично (124) функция будет иметь следующий вид:

Функция является прямоугольной матрицей типа . Так как по теореме об умножении изображений

(4.130)

то закон движения системы, описываемой векторным дифференциальным уравнением (99), будет следующим:

(4.131)

Элементы матрицы будут

(4.132)

б) Матричная функция веса. Матричная передаточная функция системы определена выше выражением (106).

Функция представляет собой матрицу типа . Элемент матрицы согласно (106) имеет вид

где — полином от — правильная дробь, которая получается после выделения из целой части.

Пусть теперь элементы вектора , который входит в правую часть векторного уравнения (99), будут

(4.134)

где - единичная импульсивная функция (дельта-функция Дирака). При условии (134) вектор будет иметь

(4.135)

Аналогично (22) изображение матрицы (135) будет

(4.136)

Обозначая

(4.137)

найдем, что в случае, когда элементы вектора имеют вид (134),

(4.138)

Таким образом, в этом случае уравнение в изображениях (111) принимает вид

(4.139)

откуда

(4.140)

Для элемента вектора будем, учитывая (137), иметь следующее выражение:

(4.141)

В соответствии с (133) выражение (141) можно переписать так:

(4.142)

При нулевых начальных условиях

(4.143)

матрица согласно (110) обращается в нуль

(4.144)

и выражение (142) принимает вид

(4.145)

Так как является полиномом от , то

(4.146)

Учитывая еще, что согласно (128)

(4.147)

где есть элемент матрицы , которая определена выражением (129), найдем, что изображению соответствует следующий оригинал:

(4.148)

где

(4.149)

Матрица определена выше выражением (129). Приводя выражение элемента этой матрицы к действительной форме, будем иметь

(4.150)

где

Здесь s — число не совпадающих между собой действительных корней уравнения , где имеет вид (123), a — число не совпадающих между собой пар комплексных корней ел этого уравнения. Через и обозначена кратность этих корней. Через и обозначены функции

(4.151)

В соответствии с (145) и (148)

(4.152)

Таким образом, функция ( — фиксировано) представляет собой закон, по которому, при нулевых начальных условиях, изменяется во времени координата системы, в случае, когда все элементы входного векторного сигнала тождественно равны нулю, за исключением элемента , который равен единичной импульсивной функции .

Из операционного соотношения (148) следует, что

(4.153)

где — матрица типа , элемент которой определен выражением (149).

Матрицу , определяемую операционным соотношением (153) можно назвать матричной функцией веса многомерной управляемой системы, описываемой векторным дифференциальным уравнением (99).

В соответствии с (153) выражение (149) определяет функцию лишь при . Так как при система находилась в покое, то в соответствии с (152) мы должны принять, что

в) Матричная переходная функция. Рассмотрим теперь случай, когда элементы вектора имеют вид

При условии (154) произведение матриц и будет

Вектор (155) будет иметь следующее изображение:

(4.157)

где вектор определен выражением (137). В рассматриваемом теперь случае уравнение в изображениях (111) принимает вид

(4.158)

Для элемента вектора будем, учитывая (141), иметь выражение:

то

(4.160)

В соответствии с (133) выражение (160) можно переписать так:

(4.161)

При нулевых начальных условиях (143) матрица обращается в нуль, и выражение (161) принимает вид

(4.162)

Так как является полиномом от то

(4.163)

Обозначим через матрицу, изображением которой является матрица :

(4.164)

Аналогично (88) здесь будем иметь

(4.165)

Из (164) следует, что

(4.166)

где функция является элементом матрицы .

Аналогично (150) приведенное к действительной форме выражение элемента матрицы будет следующим:

(4.167)

Таким образом, изображению будет соответствовать следующий оригинал:

где

(4.169)

В соответствии с (162) и (168)

(4.170)

Таким образом, функция ( — фиксировано) представляет собой закон, по которому при нулевых начальных условиях изменяется во времени координата системы в случае, когда все элементы входного векторного сигнала тождественно равны нулю, за исключением элемента , который равен единичной ступенчатой функции .

Из операционного соотношения (168) следует, что

(4.171)

где - матрица типа , элемент которой определен выражением (169).

Матрицу определяемую операционным соотношением (171), можно назвать матричной переходной функцией многомерной управляемой системы, описываемой векторным дифференциальным уравнением (99).

Заметим, что так как все элементы матрицы являются правильными дробями, то 0 и, следовательно, . Поэтому

(4.172)

Учитывая еще, что

(4.173)

будем иметь

(4.174)

что совпадает с изображением (153) функции . Отсюда получаем следующую зависимость между матричной функцией веса и матричной переходной функцией :

(4.175)