Глава 3. СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ УПРАВЛЕНИЯ

§ 10. Функции от матриц и их применение к интегрированию систем линейных дифференциальных уравнений

Применение функций от матриц к теории систем линейных дифференциальных уравнений явилось предметом основоположных работ И. А. Лаппо-Данилевского [50]. Эти вопросы подробно изучены также в монографиях Ф. Р. Гантмахера [21] и Б. В. Булгакова [17]. Этим трудам автор следует в изложении указанных вопросов. Непосредственное приложение методы теории функций от матриц имеют в рассмотренных ниже задачах управляемости и наблюдаемости линейных систем.

1. Обобщенная теорема Безу.

Пусть - квадратная матрица типа . Через обозначим матричный полином степени

Заметим, что если вместо скаляра подставить в выражение (1) матрицу , то будем иметь

причем в общем случае .

Разделим матричный полином на бином справа и слева

Так как при делении полиномов степень остатка ниже степени делителя, то правый остаток и левый остаток не будут зависеть от .

Подставляя в тождества (4) вместо матрицу , что можно сделать потому, что матрица коммутативна при умножении с матричными коэффициентами бинома , получим

Отсюда вытекает следующая теорема.

Обобщенная теорема Безу. При правом (левом) делении матричного полинома на бином остаток от деления равен (соответственно ).

Следствие. Матричный полином делится без остатка справа (слева) на бином тогда и только тогда, когда (соответственно ).