8. Одно замечание об интегрировании уравнений движения одномерной системы.

Выше мы перешли от исходной системы дифференциальных уравнений (53) к уравнению (60). Функция входит в уравнение (60) под знаком дифференциального оператора, хотя в исходную систему уравнений (53) производные от не входили. Решение дифференциального уравнения (60) будет зависеть от начального значения самой функции и начальных значений производных от (до начального значения производной от , порядок которой на единицу ниже степени дифференциального оператора ). Между тем в решении исходной системы уравнений начальные значения самой функции и ее производных (если производные от не входят в исходную систему) не участвуют.

Рис. 1.9.

Чтобы пояснить существо вопроса, рассмотрим следующий пример. Пусть дана система уравнений

(1.71)

Исключая из уравнений (71) переменную получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

(1.72)

Для интегрирования уравнения (72) можно применить методы операционного исчисления. Обозначим

(1.73)

Так как

(1.74)

то дифференциальному уравнению (72) будет соответствовать следующее уравнение в изображениях:

(1.74)

Отсюда

(1.76)

Учитывая, что

и что на основании теоремы об умножении изображений

найдем, согласно (76) следующий закон изменения координаты во времени:

(1.77)

Заметим теперь, что из исходной системы уравнений (71) следует, что

(1.78)

и, следовательно, решение (77) можно представить в следующем виде:

(1.79)

Выражение (79) не содержит начального значения функции .

Таким образом, при первые два слагаемых в выражении (77) (соответствующие собственным колебаниям системы) исчезают и выражение (77) принимает вид

(1.80)