2. Консервативные системы.

Если приложенные к системе силы имеют потенциал, то есть определяются выражением , а другие силы к системе не приложены

то система называется консервативной.

В соответствии с (8) канонические уравнения движения консервативной системы с одной степенью свободы будут

Учитывая выражение (7) для функции Гамильтона Н, приведем уравнения (21) к виду

Так как в соответствии с (21)

то имеет место первый интеграл (интеграл энергии)

(8.23)

который в соответствии с (7) можно представить в виде

Здесь — значение полной энергии системы, которое можно определить из начальных условий: , при .

Соотношение (24) можно рассматривать, как зависящее от параметра v конечное уравнение фазовых траекторий системы. Как следует из (24),

то есть фазовые траектории консервативной системы расположены симметрично относительно оси абсцисс.

Время перемещения изображающей точки по фазовой траектории (рис. 8.1) от точки с абсциссой до точки с абсциссой в соответствии с (14) и (25) будет

При этом верхний знак перед интегралом в выражении (26) соответствует случаю, когда движение изображающей точки происходит по дуге, расположенной в верхней полуплоскости, а нижний знак — в нижней полуплоскости.

Пример построения фазовых траекторий для консервативной системы приведен на рис. 8.2. Здесь по заданному графику функции (рис. 8.2, а) построены для различных значений полной энергии системы графики функций (рис. 8.2, б).

Рис. 8.1.

При помощи этих графиков на рис. 8.2, в построены фазовые траектории системы, соответствующие приведенным на рис. 8.2, а значениям полной энергии системы.

Рассмотрим характер движений системы, соответствующих различным фазовым траекториям, показанным на рис. 8.2, в. Точкам A, B и C, в которых функция имеет экстремум, соответствуют особые точки, отмеченные на рис. 8.2, в цифрами 2, 4 и 1 соответственно. Как указано выше, особые точки определяют собой положение равновесия системы.

В точке А функция имеет минимум. Соответствующая ей особая точка 2 является изолированной особой точкой. Эта особая точка называется центром. Если в начальный момент времени изображающая точка находится достаточно близко от особой точки 2, то, как видно из рис. 8.2, в, она будет двигаться по замкнутой фазовой траектории, расположенной в достаточно малой окрестности точки 2. Континуум замкнутых фазовых траекторий, зависящих от параметра и аналогичных траектории 3, заполняет всю область фазовой плоскости, ограниченную замкнутой кривой 4. Таким образом, положение равновесия, соответствующее особой точке типа центр, является устойчивым, что и соответствует известной теореме Лежен — Дирихле.

В точке В функция имеет максимум. Через соответствующую ей особую точку 4 проходит самопересекающаяся кривая называемая сепаратрисой. Особая точка 4 называется седлом. Сепаратриса состоит из трех ветвей , и .

Как будет показано ниже, при движении по сепаратрисе изображающая точка приближается к особой точке 4 асимптотически при . Поэтому каждая из перечисленных выше отдельных ветвей сепаратрисы , и является фазовой траекторией. При этом фазовой траектории соответствует инфинитно-лимитационное движение (при ; при ). Фазовой траектории соответствует лимита-ционно-инфинитное движение (при ; при ). Фазовой траектории соответствует дважды лимита-ционное движение (при ; при ).

Если в начальный момент времени изображающая точка находилась сколь угодно близко от особой точки 4, то, как видно из рис. 2,в, она будет двигаться по одной из фазовых траекторий типа 3, 5 или а так как при движении по фазовым траекториям типа 5 и 3 при , то положение равновесия, соответствующее особой точке 4 (то есть особой точке типа седла), будет неустойчивым.

Рис. 8.2.

В точке С функция имеет стационарное значение. Соответствующая ей особая точка 1 будет (как показано ниже) точкой возврата первого рода. Как видно из расположения фазовых траекторий на рис. 8.2, в, положение равновесия, соответствующее особой точке , также является неустойчивым.

Сепаратриса, проходящая через особую точку , состоит из двух ветвей 1 и каждая из которых является фазовой траекторией системы. Фазовой траектории соответствует инфинитно-лимитационное движение (при при . Фазовой траектории соответствует лимитационно-инфинитное движение (при ; при ).

Фазовые траектории типа 5, , соответствуют дважды инфинитным движениям (при ; при ).

Фазовая траектория 3 является замкнутой. В любой точке этой траектории фазовая скорость отлична от нуля; изображающая точка движется по траектории 3 без остановок, совершая один обход за конечный промежуток времени.

Траектория 3 соответствует либрационному (периодическому) движению системы.

Перейдем теперь к определению наклона фазовой траектории к оси абсцисс в особой точке. Из выражения (25) следует, что

Как показано выше (16), в особой точке . Согласно (17) у консервативной системы в особой точке обращается в нуль. Таким образом, учитывая выражение (25), будем иметь следующие соотношения:

где — абсцисса особой точки.

Пусть — порядок наинизшей производной от , отличной от нуля в особой точке

Тогда можно представить функции и в таком виде:

где функции и обращаются в нуль в точке :

В соответствии с (29) выражение (27) можно переписать так:

где

Как следует из соотношения (28), . В случае, когда , а , функция имеет в точке минимум, и, следовательно, точка будет изолированной особой точкой.

В случае, когда , функция имеет в точке максимум. Точка будет особой точкой типа седла.

В этом случае согласно (31) получим

Так как в рассматриваемом случае , то подрадикальное выражение в (33) положительно и k является действительной величиной. Таким образом, в рассматриваемом случае имеет место самопересечение сепаратрисы, проходящей через особую точку (рис. 8.3).

Рис. 8.3.

Рис. 8.4.

В случае, когда и является четным числом , функция имеет в точке максимум. В этом случае согласно (31) будем иметь

и, следовательно, будет иметь место самоприкосновение сепаратрисы, проходящей через особую точку (рис. 8.4). В случае, когда и является нечетным числом , функция имеет в точке . Согласно (31) в этом случае

и особая точка будет точкой возврата первого рода. Сепаратриса, проходящая через особую точку, показана на рис. 8.5.

Рис. 8.5.

Рис. 8.6.

Обратимся теперь к определению времени перемещения изображающей точки по сепаратрисе от точки с абсциссой до особой точки, абсцисса которой (рис. 8.6). Пусть изображающая точка в момент времени находится на ветви сепаратрисы в верхней полуплоскости в точке, абсцисса которой равна .

Согласно (26) промежуток времени, в течение которого изображающая точка придет в особую точку, будет

Подставляя в (36) выражение (29), которым определена функция , получим

Так как 1, то несобственный интеграл (37) является

ходящимся и, следовательно, изображающая точка приближается к особой точке асимптотически при , как это и указывалось выше.