2. Задача о максимальном отклонении.

Рассмотрим систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением

(23.16)

где

(23.17)

На управление u наложего ограничение

(23.18)

Требуется выбрать управление и так, чтобы отклонение системы в момент времени Т достигло наибольшего возможного значения.

Разумеется, для системы, описываемой столь простым уравнением (16), эта задача может быть решена непосредственно.

Найдем, однако, решение задачи при помощи принципа максимума с целью иллюстрации общего метода примером, в котором отсутствуют громоздкие вычисления.

Обозначим через Q функционал

(23.19)

где

(23.20)

Через обозначим скалярную функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению

(23.21)

и начальному условию

(23.22)

Из (19), (21) и (22) следует, что

(23.23)

Согласно (16), (21) и (20)

(23.24)

откуда, учитывая (22), получим

(23.25)

Так как начальное отклонение не зависит от управления, то из соотношения (25) следует, что управление , доставляющее минимально возможное значение функционалу обеспечивает максимально возможное значение отклонения .

Обозначим теперь через вектор

и согласно (17.10) введем функцию

(23.27)

Согласно (17.14) функции и будут удовлетворять уравнениям

(23.28)

которые в соответствии с (27) принимают вид

(23.29)

Общее решение уравнений (29) имеет вид

(23.30)

Рассматриваемая задача представляет собой задачу с закрепленным временем T и свободным концом траектории. Поэтому согласно (17.55) функции и должны удовлетворять условиям

(23.31)

При условиях (31) решения (30) принимают вид

(23.32)

При определяемая выражением (27) функция переменного u (на которое наложены ограничения (18)) будет для всех достигать в точке максимума, если управление будет иметь вид

(23.33)

Подставляя в (33) вместо и их выражения (32), получим

(23.34)

При условии (34) найдем из (16) и (17)

(23.35)

что, как уже было сказано, в этой задаче очевидно.