2. Задача о максимальном отклонении.
Рассмотрим систему, описываемую скалярным дифференциальным уравнением
(23.16)
где
(23.17)
На управление u наложего ограничение
(23.18)
Требуется выбрать управление и так, чтобы отклонение системы
в момент времени Т достигло наибольшего возможного значения.
Разумеется, для системы, описываемой столь простым уравнением (16), эта задача может быть решена непосредственно.
Найдем, однако, решение задачи при помощи принципа максимума с целью иллюстрации общего метода примером, в котором отсутствуют громоздкие вычисления.
Обозначим через Q функционал
(23.19)
где
(23.20)
Через
обозначим скалярную функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
(23.21)
и начальному условию
(23.22)
Из (19), (21) и (22) следует, что
(23.23)
Согласно (16), (21) и (20)
(23.24)
откуда, учитывая (22), получим
(23.25)
Так как начальное отклонение
не зависит от управления, то из соотношения (25) следует, что управление
, доставляющее минимально возможное значение функционалу
обеспечивает максимально возможное значение отклонения
.
Обозначим теперь через
вектор
и согласно (17.10) введем функцию
(23.27)
Согласно (17.14) функции
и
будут удовлетворять уравнениям
(23.28)
которые в соответствии с (27) принимают вид
(23.29)
Общее решение уравнений (29) имеет вид
(23.30)
Рассматриваемая задача представляет собой задачу с закрепленным временем T и свободным концом траектории. Поэтому согласно (17.55) функции
и
должны удовлетворять условиям
(23.31)
При условиях (31) решения (30) принимают вид
(23.32)
При
определяемая выражением (27) функция
переменного u (на которое наложены ограничения (18)) будет для всех
достигать в точке
максимума, если управление будет иметь вид
(23.33)
Подставляя в (33) вместо
и
их выражения (32), получим
(23.34)
При условии (34) найдем из (16) и (17)
(23.35)
что, как уже было сказано, в этой задаче очевидно.