§ 5. Переходные и установившиеся процессы в замкнутых управляемых системах

1. Определение функции веса по частотной характеристике замкнутой системы.

В § 4 была введена функция веса (4.148), (4.133) (которая называется также импульсной переходной функцией) и переходная функция (4.168) при помощи следующих соотношений:

(5.1)

(5.2)

Будем здесь предполагать, что функция является правильной дробью. Ограничиваясь устойчивыми системами, мы должны принять, что все нули полинома расположены в левой полуплоскости . Поэтому все полюсы функции будут расположены в левой полуплоскости .

Если известна функция то функция веса и переходная функция могут быть найдены по формулам Римана — Меллина. Из соотношения (1) следует, что

или

(5.3)

В выражении вычисляется вдоль прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на расстоянии с, где величина выбирается так, чтобы все полюсы функции были расположены левее этой прямой. Так как все полюсы функции расположены в левой полуплоскости, то можно принять .

Перейдем теперь из плоскости комплексного переменного в плоскость где

(5.4)

Из формулы (4) следует, что

Таким образом имеют место следующие соотношения:

и выражение (3) принимает вид

(5.5)

Так как

(5.6)

то

(5.7)

При выражение (7) принимает вид

Поэтому в соответствии со сделанным выше предположением о том, что рассматриваемая система является устойчивой, вследствие чего можно принять , приведем выражение (5) к следующему виду:

(5.8)

Выражение (8) представляет собой обратное преобразование Фурье. Оно определяет функцию на интервале , если только интеграл абсолютно сходится. Это условие для устойчивой системы выполняется.

Выражение (8) можно переписать так:

(5.9)

Функции и являются четными функциями . Функции и являются нечетными функциями от . Таким образом, подынтегральная функция во втором интеграле в выражении (9) является нечетной функцией от , а так как интегрирование ведется в пределах от до , то второй интеграл в выражении (9) обращается в нуль.

Так как в первом интеграле в выражении (9) подынтегральная функция является четной функцией от , то можно заменить этот интеграл удвоенным интегралом, взятым в пределах от 0 до . Выражение (9) принимает следующий вид:

(5.10)

Таким образом, при помощи формулы (10) можно определить функцию веса системы по частотной характеристике этой системы.

Пусть теперь . Выражение (8) при этом принимает вид

(5.11)

Переходя обратно в плоскость , в соответствии с (6) будем иметь

(5.12)

Рис. 5.1.

Так как по сделанному здесь предположению есть правильная дробь, то на полуокружности Г радиуса R (рис. 5.1) функция , где , при стремится равномерно к нулю относительно , где . Поэтому для этой полуокружности имеет место лемма Жордана

(5.13)

Полуокружность Г, по которой ведется интегрирование в выражении (13), должна быть расположена в правой полуплоскости , так как при функция стремится к нулю при только в правой полуплоскости . На основании соотношения (13) можно представить выражение (12) так:

(5.14)

где замкнутый контур С состоит из мнимой оси и полуокружности бесконечно большого радиуса. Этот контур охватывает всю правую полуплоскость.

Интеграл в правой части (14) равен сумме вычетов функции по особым точкам функции , расположенным в правой полуплоскости . Но так как функция не имеет особых точек в правой полуплоскости, то этот интеграл равен нулю. Таким образом, мы получили, что

(5.15)

Так как согласно (10)

(5.16)

то в соответствии с (15) будем иметь

(5.17)

При помощи (17) и (10) получим следующее окончательное выражение для функции веса:

(5.18)