2. Задача о регуляторе выхода.

Рассмотрим нестационарную линейную систему

(24.69)

где x — -мерный вектор фазовых координат системы (то есть вектор состояния системы), — -мерный вектор управления, - -мерный вектор, определяющий собой выход системы, — -матрица, - -матрица, — -матрица.

Предполагается, что система (69) вполне наблюдаема, то есть матрица

(24.70)

является положительно-определенной матрицей. Здесь

где через обозначена фундаментальная матрица решений векторного дифференциального уравнения

Как и в п. 1, предполагается, что на управления ограничения не наложены. Требуется выбрать вектор управления так, чтобы минимизировать функционал

(24.71)

где Т — некоторый фиксированный момент времени. Целью управления является вектора вблизи нуля, то есть задача состоит в регулировании выхода системы. Матрицы F и являются неотрицательно-определенными -матрицами, а матрица - положительно-определенная -матрица. Так как

то функционал (71) можно переписать так:

(24.72)

Заметим, что поскольку система (69) вполне наблюдаема, a F и - неотрицательно-определенные матрицы, то симметрические матрицы и также будут неотрицательно-определенными матрицами.

Действительно, в силу того, что — неотрицательно-определенная матрица, имеет место соотношение

(24.73)

откуда следует, что

(24.74)

для любого вектора

Если система вполне наблюдаема, то по вектор-функции на можно определить единственным образом начальный вектор системы (69), а каждый вектор определяет единственную траекторию системы (69). Следовательно, уравнения (69) вполне наблюдаемой системы взаимно однозначно отображают пространство Y на пространство X. Поэтому из условия (74) следует, что

Таким образом, матрица и аналогично матрица являются неотрицательно-определенными матрицами.

Так как функционалы (2) и (72) отличаются лишь тем, что неотрицательно-определенные матрицы F и заменены неотрицательно-определенными матрицами и соответственно, то результаты п. 1 можно перенести на рассматриваемую здесь задачу.

Аналогично (48) оптимальное управление будет иметь вид

(24.75)

Дифференциальное уравнение, описывающее закон движения оптимальной системы, будет согласно (35) и (69) следующим:

(24.76)

Минимальное значение функционала определяемого аналогично (43), будет

(24.77)

Входящая в выражения (75) и (77) и в дифференциальное уравнение (76) положительно-определенная, симметрическая матрица есть решение уравнения Риккати

(24.78)

удовлетворяющее граничному условию

(24.79)