2. Решение интегрального уравнения, определяющего функцию веса оптимальной системы.

Спектральную плотность входного сигнала обозначим через . Так как является четной положительной функцией от :

(26.24)

то ее можно представить в виде произведения двух комплексносопряженных функций

(26.25)

где функция (которая образуется из при замене аргумента на обладает тем свойством, что все ее нули и полюсы расположены на плоскости комплексного переменного , левее мнимой оси. Преобразование (25) называется факторизацией функции . В случае, когда является дробно-рациональной функцией от , выполнение преобразования (25) не вызывает затруднений.

В силу указанных здесь свойств функции система с передаточной функцией , где , будет устойчивой.

Представим себе, что искомая оптимальная система состоит из двух последовательно соединенных линейных систем с передаточными функциями и соответственно [76].

Спектральная плотность сигнала на выходе системы с передаточной функцией будет в соответствии с (25.19) и (25) следующей:

(26.26)

то есть сигнал будет стационарным случайным процессом типа белого шума с единичной спектральной плотностью. Корреляционная функция случайного процесса согласно (25.23) и (26) будет

(26.27)

где — дельта-функция Дирака.

Через обозначим функцию веса показанной на рис. 26.1 системы с передаточной функцией . В соответствии с (25.1) будем иметь

(26.28)

Как следует из схемы, изображенной на рис. 26.1, передаточная функция искомой оптимальной системы будет

(26.29)

Рис. 26.1.

Для того чтобы функция была передаточной функцией системы, оптимально преобразующей сигнал , необходимо, чтобы система с передаточной функцией оптимальным образом преобразовывала сигнал . Для этого функция должна удовлетворять интегральному уравнению, которое в соответствии с (23) будет иметь вид

(26.30)

Так как согласно (27)

то уравнение (30) принимает вид

откуда следует, что

(26.31)

Согласно (25.15)

(26.32)

В соответствии с (25.56), учитывая, что — выход, а — вход системы с передаточной функцией можно представить спектральную плотность в следующем виде:

(26.33)

Из (31), (32) и (33) следует, что

(26.34)

Согласно (28)

(26.35)

откуда в соответствии с (34) найдем

(26.36)

Передаточная функция искомой оптимальной системы в соответствии с (29) и (36) будет определена следующим выражением:

(26.37)

В случае, когда спектральные плотности и являются дробно-рациональными функциями от , передаточная функция может быть легко вычислена. В этом случае в соответствии с (25)

причем, как уже сказано выше, у функции все нули и полюсы расположены на плоскости комплексного переменного левее мнимой оси.

Обозначим теперь

(26.38)

и рассмотрим функцию , которая образуется из при замене аргумента на . Так как — дробно-рациональная функция от , то ее можно разложить на сумму элементарных дробей и представить в виде

(26.39)

где функция имеет все полюсы в левой полуплоскости комплексного переменного , а функция имеет все полюсы в правой полуплоскости . Интеграл

равен сумме вычетов функции по всем особым точкам функции расположенным в верхней полуплоскости комплексного переменного , то есть представляет собой оригинал , изображением которого является функция .

Поскольку есть изображение функции , то

и, таким образом, выражение (37) принимает вид

откуда следует, что

(26.40)

Выражение (40) определяет собой передаточную функцию оптимальной системы в случае, когда спектральные плотности и являются дробно-рациональными функциями от .