Глава 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 25. Преобразование случайных сигналов линейными системами

Во многих задачах сигнал, поступающий на вход управляемой системы, представляет собой реализацию некоторого случайного процесса, причем никаких сведений об этой реализации, помимо сведений о статистических свойствах соответствующего случайного процесса, не имеется. Так, например, может быть известно, что рассматриваемый процесс является гауссовым и даны его среднее значение и корреляционная функция.

При таком объеме сведений о входном сигнале не представляется возможным получение более полной по объему информации о сигнале на выходе системы. Возможно лишь определение статистических свойств сигнала на выходе системы.

Если система описывается линейными дифференциальными уравнениями, то речь идет об определении статистических свойств интегралов этих дифференциальных уравнений по заданным статистическим свойствам правых частей уравнений. Решение этой задачи изложено ниже.

Значительно большие трудности представляет задача об определении статистических свойств интегралов линейных дифференциальных уравнений, у которых не только правые части, но и коэффициенты являются случайными процессами (случайными функциями времени).

Решение аналогичных задач для нелинейных дифференциальных уравнений возможно лишь при помощи приближенных методов.

Рассмотрим одномерную линейную систему, передаточная функция которой представляет собой правильную дробь, и обозначим через функцию веса этой системы. Как показано в § 4, функция представляет собой изображение по Карсону — Хевисайду функции :

(25.1)

то есть

(25.2)

Для устойчивой системы несобственный интеграл абсолютно сходится

и преобразование Фурье для функции будет следующим:

(25.3)

Если обозначить через входной сигнал, то сигнал на выходе системы, находившейся в момент в покое, будет равен

(25.4)

В предельном случае при имеем

(25.5)

что для краткости мы условились (§ 1) записывать так:

(25.6)

Выражение (6) определяет собой установившийся процесс в системе. Так как при , то выражение (6) можно представить так:

(25.7)

Ниже будет предполагаться, что рассматриваемая система устойчива. Пусть входной сигнал является реализацией ограниченного случайного процесса. Так как каждая реализация ограниченного случайного процесса является ограниченной функцией времени, то

(25.8)

для каждой реализации случайного процесса . Соотношение (8) представляет собой соотношение между реализациями случайного процесса на входе системы и реализациями случайного процесса на выходе системы.

Пусть входной сигнал является реализацией стационарного случайного процесса. Математическое ожидание этого случайного процесса . Определяемый соотношением (7) установившийся процесс на выходе системы также будет стационарным случайным процессом, для которого

(25.9)

Далее будем рассматривать стационарные случайные процессы с нулевыми средними значениями.

По определению корреляционная функция случайного процесса , определяемого выражением (7), будет

(25.10)

Операции математического ожидания и интегрирования коммутативны. Поэтому выражение (10) можно представить так:

или

(25.11)

Так как и — стационарные случайные процессы, то

(25.12)

и выражение (11) принимает следующий вид:

(25.13)

или

(25.14)

В трудах А. Я. Хинчина показано, что спектральная плотность и корреляционная функция стационарного случайного процесса связаны соотношениями

(25.15)

В соответствии с (14) и (15) спектральная плотность стационарного случайного процесса будет

Вводя новую переменную

(25.17)

приведем выражение (16) к виду

или в соответствии с (3)

(25.18)

Из (18) и (15) следует, что спектральные плотности стационарных случайных процессов на выходе и входе устойчивой линейной системы связаны соотношением

(25.19)

Так как - стационарный случайный процесс с нулевым средним значением, то дисперсия этого случайного процесса имеет вид

(25.20)

В соответствии с (15) и (20)

(25.21)

Согласно (19) можно представить выражение (21) в виде

(25.22)

Для стационарного случайного процесса (с нулевым средним значением) типа белого шума

(25.23)

где — дельта-функция Дирака, a F — интенсивность шума. Спектральная плотность этого процесса согласно (15) будет

(25.24)

что может быть принято в качестве определения белого шума. Условие (24) означает, что мощность парциальных составляющих случайного процесса для любых частот одна и та же. Поэтому белый шум является наиболее интенсивным видом помехи.

Если входной сигнал представляет собой стационарный случайный процесс типа белого шума со спектральной плотностью

(25.25)

то в соответствии с (22) дисперсия стационарного случайного процесса на выходе системы будет

Согласно (20) и (14)

Таким образом, дисперсия стационарного случайного процесса на выходе системы в случае, когда входной сигнал является белым шумом, имеет следующий вид:

(25.26)

Обозначая

(25.27)

будем иметь

(25.28)

Здесь — амплитудная частотная, а — фазовая частотная характеристика системы.

Из (26) и (28) следует, что

(25.29)

Если обозначить через величину

(25.30)

то выражение (29) примет вид

(25.31)

Величина называется полосой пропускания системы. Найдем теперь взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность стационарных случайных процессов и , из которых представляет собой входной сигнал, a - сигнал на выходе линейной системы. Передаточная функция системы равна , где .

По определению взаимная корреляционная функция будет

(25.32)

Так как согласно (7) при сигнал на выходе системы имеет вид

(25.33)

(25.34)

Таким образом, для стационарных случайных процессов

(25.35)

где

(25.36)

причем в соответствии с (34)

(25.37)

Аналогично

(25.38)

Таким образом,

(25.39)

где, как и выше (36),

Взаимная спектральная плотность согласно (15) будет

(25.40)

В соответствии с (37) выражение (40) принимает вид

(25.41)

Вводя новую переменную

(25.42)

приведем выражение (41) к виду

В соответствии с (3) и (15) это выражение можно записать так:

(25.43)

Аналогично

(25.44)

Вводя новую переменную

(25.45)

можно привести выражение (44) к виду

(25.46)

или в соответствии с (3) и (15)

(25.47)

Так как , то из выражений (43) и (47) следует, что

(25.48)

Учитывая, что

найдем из (37)

что в соответствии с (39) приводит к соотношению

(25.49)

Найдем еще взаимную корреляционную функцию стационарных случайных процессов и (с нулевыми средними значениями), где определяется выражением (8).

По определению

(25.50)

Обозначая, как и выше (36),

будем иметь

(25.51)

Взаимная спектральная плотность будет

или согласно (51)

(25.52)

Вводя, как и выше (42), новую переменную

получим

(25.53)

или

(25.54)

Учитывая теперь, что согласно (49) и (48)

получим в соответствии с (51) и (54)

(25.55)

(25.56)