§ 16. Связь уравнения Беллмана с уравнением Гамильтона — Якоби в задачах аналитической механики

1. Задача о минимизации интеграла вида

Рассмотрим систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением

где , а также - -мерные векторы

Начальное состояние системы

и состояние системы в момент времени t заданы. Требуется найти управление

обеспечивающее перевод системы из состояния в состояние и доставляющее минимум интегралу

Обозначим

Пусть , доставляющее минимум интегралу (4), a -соответствующая этому управлению фазовая траектория (рис. 16.1). Тогда будем иметь

Возьмем на оптимальной траектории (рис. 16.1) точку . Поскольку положение системы в конечной точке интервала фиксировано, то участок оптимальной траектории от точки до точки сам по себе также будет оптимальной траекторией.

Поэтому для будем иметь следующее выражение:

(16.6)

Так как

(16.7)

то будем иметь

(16.8)

Рис. 16.1.

Предположим теперь, что функция непрерывна и всюду имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Так как в соответствии с (1) при и

то

(16.10)

Подставляя выражение (10) в левую часть уравнения (8), получим

(16.11)

Разделив в уравнении (11) все члены на и учитывая, что , получим в пределе при следующее соотношение:

или эквивалентное ему соотношение

(16.13)

Из рассуждений, при помощи которых получено соотношение (6), следует, что соотношение (13) сохраняет свой вид и в задаче об отыскании максимума интеграла (4).