§ 23. Некоторые примеры применения принципа максимума

1. Теорема о числе переключений управления в линейной задаче о быстродействии.

Рассмотрим систему, описываемую линейным векторным дифференциальным уравнением

где x, А, В — следующие матрицы:

а управление и представляет собой скалярную функцию, на которую наложены ограничения

Требуется перевести систему из точки , в которой система находится в момент времени , в точку за наименьшее возможное время.

Через обозначим -мерный вектор

и согласно (17.21) введем функцию

Согласно (17.23) функции будут удовлетворять следующим дифференциальным уравнениям:

Система скалярных дифференциальных уравнений (6) эквивалентна векторному дифференциальному уравнению

где согласно (6)

Матрица является транспонированной матрицей для матрицы А.

Векторное дифференциальное уравнение (7) является сопряженным для уравнения

Как показано выше (18.51), интегралы уравнений (9) и (7) обладают следующим свойством:

Согласно (18.53) фундаментальная матрица решений уравнения (9) и фундаментальная матрица решений уравнения (7) удовлетворяют соотношению

Согласно (10.160)

и, таким образом,

(23.10)

откуда следует, что корни соответствующих дифференциальным уравнениям (9) и (7) характеристических уравнений и отличаются лишь знаками [28], стр. 171.

В соответствии с теоремой 2 (§ 17) оптимальное управление будет иметь следующий вид:

(23.11)

Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения

простые и являются действительными величинами.

В этом случае в соответствии с отмеченным выше свойством сопряженной системы решение векторного дифференциального уравнения (7) будет следующим:

(23.12)

где - действительные величины, а — некоторые постоянные величины, зависящие произвольных постоянных, для определения которых должны быть заданы начальные значения функций (либо значения, которые должны принять функции в какой-либо другой фиксированный момент времени).

Подставляя в (11) выражения (12), получим

(23.13)

где — некоторые постоянные величины

(23.14)

Так как число нулей функции

(23.15)

на полубесконечном интервале не превышает , то определяемая выражением (11) функция , модуль которой является кусочно-постоянной функцией, имеющей на интервале времени не более точек разрыва, то есть функция имеет не более интервалов постоянства.

Иными словами, число переключений управления не превышает .

Доказанная здесь теорема называется теоремой об интервалах и принадлежит А. А. Фельдбауму [85].