3. Нестационарные системы с бесконечным временем наблюдения.

Рассмотрим теперь для исходной нестационарной системы (1) предельный случай, когда начальный момент времени наблюдения этом будем предполагать, что существуют такие фиксированные положительные постоянные , что для всех t выполняются условия

(27.101)

(27.102)

где Е — единичная матрица,

(27.103)

(27.104)

Здесь , а — фундаментальная матрица решений однородного векторного уравнения

Условие (101) означает, что система (1) равномерно вполне наблюдаема условие (102) означает, что система (1) равномерно вполне управляема.

Заметим, что для симметрических матриц М и N условия и означают, что матрица М — N является соответственно положительно-определенной и неотрицательно-определенной матрицей.

Норму матрицы А будем обозначать через . Обозначая через норму -мерного вектора из -мерного пространства X и полагая , примем в качестве нормы матрицы А следующую величину:

Кроме условий (101) и (102) будем предполагать, что — положительно-определенная матрица и что для всех нормы матриц и удовлетворяют условиям

(27.105)

где — некоторые фиксированные положительные постоянные.

В цитированных выше работах Калмана [34, 35] показано, что при выполнении условий (101), (102), (105) имеют место следующие результаты.

. Решение уравнения Риккати (80) в случае, когда — неотрицательно-определенная матрица, будет равномерно ограниченной, положительно-определенной матрицей для всех .

. Норма матрицы где и — решения уравнения Риккати (80) при начальных условиях и соответственно, а и — неотрицательно-определенные матрицы, удовлетворяет условию

(27.106)

. Решение уравнения Риккати (80), соответствующее начальному условию , имеет при предел

(27.107)

который существует для всех .

. Каждое решение уравнения Риккати (80), удовлетворяющее начальному условию , где , а — неотрицательно-определенная матрица, равномерно сходится к где матрица определена выражением (107). В этом смысле есть подвижное состояние равновесия, удовлетворяющее дифференциальному уравнению (80)

. Оптимальный фильтр, описываемый согласно (82) и (107) дифференциальным уравнением

(27.108)

равномерно асимптотически устойчив, то есть норма матрицы удовлетворяет условию

где и — некоторые положительные постоянные, , а - фундаментальная матрица решений однородного векторного дифференциального уравнения, образуемого из (108) при .