2. Функция веса и передаточная функция.
Система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, называется стационарной системой. При помощи преобразования Лапласа можно установить весьма интересное соотношение между передаточной функцией и функцией веса стационарной системы.
Напомним [90], что изображением (или преобразованием) некоторой функции 
действительного переменного t по Лапласу называется функция комплексного переменного 
, определяемая соотношением
(1.23)
В операционном исчислении Карсона — Хевисайда изображение 
функции 
определяется соотношением
(1.24)
что не содержит принципиальных отличий от 
Лапласа, но представляет удобство тем, что для функции 
, где 
, постоянная с служит также изображением: 
.
Операционное соответствие между функциями 
и 
(функция 
называется оригиналом) записывается так:
(1.25)
Если известна функция 
, то соответствующий ей оригинал определяется формулой Римана — Меллина
(1.26)
где интегрирование ведется в плоскости комплексного переменного 
вдоль прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на расстоянии с. Эта прямая расположена правее всех особых точек функции 
.
Рассмотрим теперь для изученной выше системы (1) функцию 
комплексного переменного 
, которая образуется из передаточной функции Ф (D), если в ней аргумент D заменить на 
. Согласно (5) функция Ф 
будет иметь следующий вид:
(1.27)
Учитывая соотношение (7), (8) 
(9), можно представить выражение (27) так:
(1.28)
В соответствии с (28)
(1.29)
Как известно [17],
Таким образом,
(1.30)
и, следовательно, в соответствии с (14) мы приходим к соотношению
(1.31)
Это и есть интересующее нас соотношение между передаточной функцией 
и функцией веса 
системы (1).
или соответствующая ей функция веса 
представляют собой основную динамическую характеристику линейной стационарной системы. Эти функции характеризуют как собственные колебания системы, так и способность системы воспроизводить внешние сигналы. Функции 
и 
полностью эквивалентны друг другу.
