Глава 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ

§ 6. Устойчивость нелинейных управляемых систем.

Частотные критерии. Применение прямого метода Ляпунова

1. Об одном классе нелинейных управляемых систем.

Мы будем рассматривать собственные колебания нелинейной управляемой системы, описываемой следующими дифференциальными уравнениями:

(6.1)

где функция удовлетворяет условию

(6.2)

Систему уравнений (1) можно переписать так:

(6.3)

Если ввести матрицы

(6.4)

и обозначить через D оператор дифференцирования по времени

то можно заменить систему дифференциальных уравнений (3) векторным уравнением

(6.5)

где через Е обозначена единичная матрица.

В дополнение к условию (2) будем считать, что функция такова, что ее график не выходит из угловой области, показанной на рис. 6.1, то есть

(6.6)

При условие (6) сводится к неравенству

При векторное уравнение (5) принимает вид

(6.7)

Рис. 6.1.

Дифференциальному уравнению (7) соответствует характеристическое уравнение

(6.8)

где

(6.9)

Случай, когда все корни характеристического уравнения (8) расположены на плоскости комплексного переменного левее мнимой оси, то есть

будем называть основным случаем. Ниже мы ограничимся рассмотрением лишь основного случая.

Систему уравнений (1) можно в векторной форме записать так:

(6.10)

Исключая из уравнений (10), получим следующее уравнение:

(6.11)

Обозначим теперь

(6.12)

Уравнение (11) примет вид

(6.13)

Матрица W (D) может быть записана так:

(6.14)

Из выражения (14) видно, что функция W(D) представляет собой скалярную дробно-рациональную функцию, у которой степень числителя ниже степени знаменателя.