2. Стационарные системы с бесконечным временем наблюдения.

Рассмотрим теперь предельный случай, когда начальный момент времени наблюдения . В этом случае мы имеем систему с бесконечным временем наблюдения, так как при интервал наблюдения удовлетворяет условию

Предположим, что система (1) является стационарной, то есть А, В и С — постоянные матрицы, а входящие в выражения (3) и (7) матрицы Q и R — постоянные, положительно-определенные матрицы. Предположим также, что система (1) вполне управляема и вполне наблюдаема. Для стационарной системы это будет иметь место при выполнении условий

(27.96)

Решение уравнения Риккати (80) при начальном условии (81) обозначим через . Решение, соответствующее начальному условию , будет .

В рассматриваемом здесь случае уравнение Риккати (80) принимает вид

(27.97)

В работах Калмана [34, 35] показано, что при выполнении условий (96) имеют место следующие результаты.

. Решение уравнения Риккати (97) имеет при предел

(27.98)

который существует для всех , причем есть постоянная симметрическая положительно-определенная матрица, являющаяся решением нелинейного матричного алгебраического уравнения

(27.99)

. Каждое решение уравнения Риккати (97), удовлетворяющее начальному условию , где , а - неотрицательно-определенная матрица, стремится равномерно к при , то есть матрица представляет собой единственное положительно-определенное состояние равновесия, удовлетворяющее дифференциальному уравнению (97).

. Оптимальный фильтр, описываемый согласно (82) и (98) дифференциальным уравнением

(27.100)

асимптотически устойчив, то есть характеристические числа матрицы имеют отрицательные действительные части.