3. Теорема В. Г. Болтянского для общей задачи динамического программирования.

Уравнение Беллмана (14.36) для этой задачи получено в § 14, п. 2. Из уравнения (14.36) следует, что для любого управления , переводящего систему из начального положения в положение , имеет место неравенство

или

(15.27)

где знак равенства имеет место для оптимального управления

Если ввести теперь функцию при помощи соотношения

то неравенство (27) примет вид

(15.29)

Аналогично изложенному в п. 2 для рассматриваемой здесь общей задачи доказывается теорема [14], доставляющая необходимые и достаточные условия оптимальности.

Теорема В. Г. Болтянского для общей задачи динамического программирования. Пусть М — кусочно-гладкое множество размерности , расположенное в фазовом пространстве X, и — непрерывная функция, заданная на X и имеющая в точках, не принадлежащих множеству М, непрерывные производные. Пусть, далее, для некоторой точки . Предположим, что для каждой отличной от точки существует допустимое управление и , переводящее изображающую точку из положения в положение и удовлетворяющее соотношению

(15.30)

Для того чтобы все управления были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках , не принадлежащих множеству М, функция удовлетворяла уравнению Беллмана (14.36)

(15.28)

или, что то же самое, неравенству (29)