§ 8. Барометрическая формула

Хаотические молекулярные движения приводят к тому, что частицы газа равномерно распределяются по объему сосуда, так что в каждой единице объема содержится в среднем одинаковое число частиц. В равновесном состоянии давление и температура газа также

одинаковы во всем объеме. Но так обстоит дело только в том случае, когда на молекулы не действуют внешние силы. При наличии же таких сил молекулярные движения приводят к своеобразному поведению газов.

Рассмотрим, например, газ (воздух), находящийся под действием силы тяжести. Если бы отсутствовало тепловое движение молекул, то все они под действием силы тяжести «упали» бы на Землю, и весь воздух собрался бы тончайшим слоем у поверхности Земли. Если бы отсутствовала сила тяжести, но существовали бы молекулярные движения, молекулы разлетелись бы по всему мировому пространству. Атмосфера, воздушная оболочка Земли, обязана своим существованием в ее теперешнем виде наличию одновременно и теплового движения молекул, и силы притяжения к Земле. При этом в атмосфере устанавливается вполне определенное распределение молекул по высоте. Соответственно этому распределению молекул устанавливается и определенный закон изменения давления газа с высотой, который нетрудно найти.

Рис. 8.

Рассмотрим вертикальный столб воздуха (рис. 8). Пусть у поверхности Земли, где давление равно а на высоте равно При изменении высоты на давление изменяется на Давление воздуха на некоторой высоте равно, как известно, весу вертикального столба воздуха, находящегося на этой высоте над площадью, равной единице. Поэтому равно разности весов столбов воздуха над площадью, равной единице, высотах т. е. равно весу столба воздуха высотой с площадью основания в одну единицу:

где плотность воздуха (масса единицы объема) и ускорение силы тяжести. Плотность газа равна, очевидно, произведению массы молекулы на их число в единице объема:

Из кинетической теории известно [формула (4.1)], что Следовательно, и

Это уравнение можно (для разделения переменных) переписать в виде:

Если считать, что температура на всех высотах одна и та же (что, вообще говоря, неверно), то, интегрируя это уравнение, получим:

где С — постоянная интегрирования. Отсюда

Постоянная С определяется из условия, что при давление Подставив в уравнение (8.16) эти значения получим:

Следовательно, интересующая нас зависимость давления воздуха от высоты над поверхностью Земли имеет вид:

или, учитывая, что молекулярная масса, т. е. масса моля, число Авогадро), получаем:

Уравнение (8.2), устанавливающее закон убывания давления с высотой, называется барометрической формулой. Из этого уравнения видно, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному закону. Этим законом пользуются для определения высоты над Землей путем измерения давления на данной высоте и на уровне моря (конечно, последнее достаточно измерить один раз).

Приборы, служащие для измерения высоты горных вершин, полета самолета и т. д., представляют собой специальные барометры, шкала которых проградуирована непосредственно в метрах. Для этих целей, однако, необходимо в уравнении (8.2) внести поправку на температуру, которая, как известно, понижается с ростом высоты, тогда как барометрическая формула получена нами в предположении постоянства температуры на всех высотах.

Пользуясь барометрической формулой (8.2), также можно определить постоянную Больцмана но точность в этом случае невелика именно из-за температурной поправки.

Так как давление газа, как мы видели раньше, пропорционально числу молекул в единице объема то формула (8.2) выражает также закон убывания плотности молекул с высотой:

где число молекул в единице объема в точках, междукоторыми разность высот равна х. Эта формула, так же как и формула (8.2а), показывает, что атмосфера Земли должна простираться до бесконечности.

При выводе барометрической формулы (8.2) или (8.3) мы предполагали, что ускорение силы тяжести постоянно, т. е. не зависит от высоты х. На этом основании мы при интегрировании уравнения (8.1) вынесли за знак интеграла. Такое упрощение приемлемо для сравнительно небольших значений х (порядка десятков километров). При больших высотах необходимо принять во внимание, что ускорение силы тяжести убывает по мере удаления от поверхности Земли. Действительно, из закона всемирного тяготенияследует, что на расстоянии от центра Земли ускорение силы тяжести

где у — постоянная гравитации (в системе СИ она имеет значение а в масса Земли и радиус Земли. Поэтому уравнение (8.1) должно быть переписано в виде;

После интегрирования получаем:

или

Постоянная интегрирования С определяется из условия, что при давление Подставив эти значения в (8.4), получаем:

и окончательно зависимость давления от высоты имеет вид:

Из этой формулы следует парадоксальный, на первый взгляд, результат, что даже на бесконечном удалении от Земли, т. е. при давление не равно нулю:

Это значит, что атмосфера Земли (как и других планет) должна была бы простираться до бесконечности и нигде плотность газа не должна быть равна нулю. Так как это физически невозможно (число молекул конечное, а объем Вселенной бесконечен), то необходимо предположить, что атмосфера Земли не находится в равновесном состоянии. Неравновесность состояния заключается в том, что атмосферный газ непрерывно рассеивается в мировое пространство. Это, однако, не привело (и в течение многих миллиардов лет не приведет) к потере Землей своей атмосферы, гак как лишь ничтожная доля частиц воздуха покидает атмосферную оболочку Земли. Но такое состояние могло привести, например, к потере атмосферы Луной, если она ею когда-либо в прошлом обладала (об этом более подробно см. ниже).

Опыт Перрена. Формула (8.3) была использована Перреном для опытной проверки барометрической формулы и для определения постоянной Больцмана (или, что то же, числа Авогадро).

Перрен использовал тот факт, что, как показали его опыты с броуновским движением, небольшие взвешенные частицы можно трактовать как невзаимодействующие молекулы очень больших размеров. Поэтому можно ожидать, что частицы типа броуновских, взвешенные в жидкости и подверженные действию силы тяжести, будут распределяться по высоте так же, как молекулы газа, т. е. по закону (8.3).

Рис. 9.

Перрен приготовил эмульсии (эмульсия состоит из двух несмешивающихся жидкостей, из которых одна образует мелкие капельки, взвешенные в другой) содержавшие частицы почти одинакового размера и приблизительно шарообразной формы. С помощью микроскопа с очень малой глубиной резкости, установленного вертикально (рис. 9), наблюдалось распределение взвешенных частиц по высоте. Для этого микроскоп фокусировался на слои эмульсии на разных высотах (глубинах). В поле зрения микроскопа оказывались частицы в слое глубиной не более 0,001 мм и совсем не были видны частицы, лежащие выше и ниже. Число частиц в поле зрения было невелико,

так что их можно было сосчитать. Число это, очевидно, пропорционально числу частиц в единице объема. Измерения цроизводились многократно и определялось среднее из многих измерений. Общее число сосчитанных частиц в некоторых сериях опытов достигало многих тысяч. Эти измерения показали, что концентрация частиц действительно убывает с высотой по экспоненциальному закону, выраженному формулой (8.3), в которой, однако, учтена потеря веса частицы по закону Архимеда.

Если масса частицы равна то вес ее с учетом подъемной силы Архимеда равен:

где плотность вещества частицы, плотность жидкости, в которой она взвешена. Формула (8.3) примет поэтому вид:

Из (8.6) следует, что если сосчитать число частиц в поле зрения микроскопа в двух слоях эмульсии то из отношения

нетрудно определить постоянную Больцмана если измерить массу частиц их плотность плотность жидкости и температуру Последние две величины измеряются общеизвестными методами. Трудно было измерить массу и плотность частиц эмульсии вследствие их малых (микроскопических!) размеров.

Плотность вещества частиц Перрен определил, измерив массу и объем эмульсии. Для этого сначала взвешиванием определялась масса воды заполняющей определенный сосуд (пикнометр). Отсюда определялся объем пикнометра (здесь плотность воды). Затем определялась масса эмульсии (в воде), заполняющей тот же пикнометр. После этого пикнометр с эмульсией помещался в печь, где жидкость полностью испарялась; пикнометр снова взвешивался, в результате чего определялась масса частиц в эмульсии. Из этих измерений определяется объем воды в эмульсии

объем частиц эмульсии

и, следовательно, плотность вещества частиц:

Радиус частиц эмульсии, которые были почти правильными шариками, Перрен определял, измеряя скорость у их падения в эмульсии, заполняющей капиллярную трубку. На шарик радиусом а, падающий со скоростью в жидкости, вязкость которой действует сила трения, направленная вертикально вверх, равная

Кроме того, на падающий шарик действует направленная вверх архимедова сила, равная

где плотность жидкости, и, конечно, сила тяжести

плотность вещества шарика. Результирующая двух последних сил

вызывает движение шарика с ускорением направленным вниз Но по мере увеличения скорости шарика растет сила трения которая тормозит его. В результате установится такая, постоянная скорость движения шарика, при которой

Именно эту скорость измерял Перрен. Из формулы (8.8) определяются радиус частицы и соответственно ее масса:

Таким образом, все величины, входящие в (8.7), поддаются измерению.

После логарифмирования (8.7) формула для вычисления постоянной Больцмана имеет вид:

Полученное из опытов Перрена значение несколько меньше принятого теперь значения. Позже, другими исследователями, этим же методом было получено более точное значение.