§ 12. Распределение молекул по компонентам скорости

Представим себе сосуд с газом, помещенный в пустое пространство в поле тяжести. Газ внутри сосуда находится в равновесии и его молекулы каким-то образом распределены по скоростям. Это распределение нам и требуется найти. Если в какой-то момент времени сосуд разбить, то молекулы газа станут двигаться по всем направлениям, в частности и вверх — против направления силы тяжести. Наличие силы тяжести и поможет нам найти то распределение, которое существовало в газе до того, как сосуд был разбит.

Направим одну из координатных осей, например ось по вертикали с началом отсчета в том месте, где находится сосуд. Ясно, что сила тяжести влияет только на -компоненту скорости молекул, так что будем искать распределение молекул не по скоростям, а по значениям составляющей скорости

Движение молекул вверх вдоль оси сопровождается уменьшением -компоненты их скорости. Если, например, у некоторой молекулы на некоторой начальной высоте эта компонента была то на высоте справедливо соотношение закона сохранения энергии:

где значение -компоненты скорости на высоте Ясно, что те молекулы, у которых кинетическая энергия не могут

подняться до высоты, большей чем Для них наивысшая точка подъема определяется равенством На этой высоте у таких молекул становится равной нулю, после чего они падают, ускоряясь, как всякое тело, брошенное вертикально вверх.

Выделим на некоторой произвольной высоте слой газа высотой с площадью основания, равной единице (рис. 10). Газ в этом слое состоит из движущихся молекул. Это молекулы, проходящие через него снизу вверх и сверху вниз (напомним, что нас интересуют только составляющие скоростей молекул по оси Разница между молекулами, приходящими снизу и сверху, в том, что молекулы, приходящие снизу, имеют -компоненты скоростей, которые по модулю непременно превышают значение в то время как молекулы, приходящие сверху, могут иметь -компоненты скорости любых значений, от до

Рис. 10.

В условиях равновесия, когда число молекул в слое должно быть постоянным, число молекул, проходящих сверху вниз, должно быть равно числу молекул, проходящих снизу вверх.

На высоте число молекул в единице объема с -компонентами скорости, лежащими в интервале от до определяется равенством

В единицу времени наш слой на высоте пересекают таких молекул (см. стр. 21). Общее же число молекул, пересекающих слой снизу вверх (обозначим это число через равно

Таким же образом мы получим, что число молекул, пересекающих слой сверху вниз равно

При равновесии, как указывалось, и должны быть равны друг другу,

Разделив обе части этого равенства на и имея в виду, что согласно барометрической формуле получаем:

Из закона сохранения энергии (12.1) дифференцированием получаем (имея в виду, что значение фиксировано):

Заменим под интегралом в левой части равенства (12.2) значение на равное ему значение При этом нижний предел интегрирования нужно заменить нулем, так что

Отсюда следует, что или

Имея в виду формулу закона сохранения энергии (12.1), нетрудно видеть, что равенство (12.3) может быть справедливым, если только

где А — некоторая постоянная. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить эти функции в формулу (12.3), принимая во внимание (12.1). При любом другом виде функции распределения уравнение (12.3) не будет совместимо с законом сохранения энергии.

Итак, функция распределения молекул по составляющим скорости по оси имеет вид

Число молекул в единице объема, -компоненты которых лежат в интервале от до выражается теперь формулой

Как уже указывалось, представляет собой вероятность того, что -компонента скорости любой молекулы газа равна с точностью до

Нам остается еще определить постоянную А, входящую в функцию распределения. Для этого достаточно проинтегрировать по всем возможным значениям от до Тогда мы получим вероятность того, что молекула газа обладает скоростью с каким-то значением -компоненты. А такая вероятность равна единице, так как о любой молекуле можно с достоверностью утверждать, что она обладает какой-то -компонентой скорости (значение ничем не хуже всякого другого!). Таким образом,

откуда

Для вычисления этого интеграла введем новую переменную Тогда

Поэтому

Известно, что Следовательно,

А интересующая нас постоянная А в уравнении (12.4) равна

Выражение же для функции распределения принимает вид:

Графически эта функция имеет вид, изображенный на рис. 11. Из графика видно, что функция стремится к нулю при Но доля молекул с -компонентой скорости, равной нулю, не равна нулю. Как видно из формулы (12.5) и из кривой рис. 11, доля молекул, -компоненты скоростей которых близки к нулю, равна А (в этом и состоит физический смысл этой постоянной). С повышением температуры доля таких молекул уменьшается.

Рис. 11.

Функцию распределения молекул по доставляющим скорости мы получили, рассматривая газ в поле силы тяжести. Напомним, что это не значит, что вид распределения молекул по составляющим скорости как-то связан с действием силы тяжести или что именно сила тяжести и создает это распределение. Как уже указывалось, барометрическая формула, которой мы воспользовались при выводе, сама является следствием распределения молекул по скоростям. Роль силы тяжести в нашем выводе состояла только в том, что она «проявила» существовавшее в газе распределение. То, что сила тяжести не играет роли в установлении распределения, видно уже из того, что в функцию распределения не входит величина характеризующая силу тяжести.