§ 31. Работа при адиабатном изменении объема газа

Пользуясь только что полученным уравнением адиабаты, мы теперь можем вычислить работу, совершаемую газом при его адиабатном расширении (или работу, производимую внешними силами при сжатии газа).

Вычислим работу расширения газа (I моля) от некоторого начального значения объема до По-прежнему элементарная работа при изменении объема на равна

Связь между давлением газа и его объемом V определяется уравнением адиабаты (чтобы быть равновесным, процесс расширения должен вестись вдоль адиабаты):

которое мы можем написать и в таком виде:

где начальное давление газа, начальный объем его. Отсюда

Подставив это значение в формулу для работы, получим:

Чтобы получить работу расширения от до надо проинтегрировать выражение для в этих пределах:

После интегрирования получаем для интеграла в правой части равенства выражение:

Поэтому выражение для работы А принимает вид:

Из уравнения состояния следует, что откуда получаем окончательное выражение:

Если масса газа равна формула эта принимает вид:

Так как Поэтому формулу для работы при адиабатном изменении объема можно представить в виде:

так как

Сравнение выражений (31.1) и (29.2) показывает, что при адиабатном расширении совершается меньшая работа, чем при изотермическом (при одном и том же изменении объема). Это, очевидно, связано с большей крутизной адиабаты по сравнению с изотермой, так как из-за этого при одинаковых начальных условиях в любой стадии процесса расширения давление при адиабатном процессе будет меньше, чем при изотермическом.

Работа при адиабатном расширении газа существенно зависит от значения показателя адиабаты Легко видеть, что если работа адиабатного расширения стремится к значению работы при изотермическом процессе. В этом можно убедиться, найдя предельное значение правой части уравнения (31.1) при (применив теорему Лопиталя).

У многоатомных газов, для которых значение у ближе всего к единице, разница в значениях работ изотермического и адиабатного процессов наименьшая.

Сравнение двух рассмотренных процессов удобнее всего провести, если прибегнуть к графическому изображению процесса изменения объема газа. На графике зависимости давления газа от его объема (рис. 39) элементарная работа изменения объема газа на изобразится площадью, ограниченной частью кривой АВ и отрезком на оси абсцисс (штриховка «в клеточку»).

Рис. 39.

Рис. 40.

Работа же изменения объема газа от значения до значения равная изобразится всей заштрихованной площадью, ограниченной соответствующим участком кривой А В и отрезком оси абсцисс.

На рис. 40 приведены для сравнения кривые и 2, представляющие собой изотерму и адиабату для одного и того же газа и для одинаковых начальных условий. Работа изотермического изменения объема газа от до равна площади АВ а соответствующая работа адиабатного расширения равна площади которая, очевидно, меньше (см. рис. 40).

Чем меньше постоянная адиабаты у, тем адиабата ближе к изотерме и тем меньше разница в площадях под обеими кривыми. В пределе, когда адиабата переходит в изотерму.