§ 48. Вязкость газов (внутреннее трение)

Вязкость газов (то же относится и к жидкостям) — это свойство, благодаря которому выравниваются скорости движения различных слоев газа. Этому свойству мы обязаны, например, тем, что ветер или буря с течением времени утихают. Выравнивание скоростей, соседних слоев газа, если эти скорости различны, происходит потому, что из слоя газа с большей скоростью движения переносится импульс (количество движения) к слою, движущемуся с меньшей скоростью.

Если внешними силами поддерживается постоянной разность скоростей движения различных слоев газа, то и поток импульса от слоя к слою будет постоянным (стационарным), причем этот поток будет направлен вдоль падения скорости. С таким случаем мы, например, встречаемся при медленном течении газа (или жидкости) между двумя пластинами или в трубе под действием постоянной внешней разности давлений, направленной вдоль движения.

Известно, что при течении газа вдоль трубы скорости разных слоев распределены так, как это показано на рис. 58, где стрелки представляют векторы скорости движения газа. Наибольшая

скорость наблюдается в средней, прилегающей к оси части трубы; по мере приближения к стенкам скорость уменьшается, а слой, непосредственно прилегающий к стенкам трубы, покоится.

При таком течении происходит перенос импульса от центрального слоя газа, где скорость наибольшая, к слоям, движущимся с меньшей скоростью. Так как этот процесс связан с изменением количества движения, то газ ведет себя так, как если бы на него действовала некоторая сила (сила внутреннего трения).

Количественно перенос импульса может быть описан так же, как мы описали перенос энергии в процессе теплопроводности.

Пусть изменение скорости движения газа происходит в направлении оси X, которое в данном случае перпендикулярно к направлению самой скорости движения газа (рис. 59).

Рис. 58.

Рис. 59.

В направлении, перпендикулярном к оси X, скорость движения во всех точках одинакова. Это значит, что скорость является функцией только х. Тогда, как показывает опыт, количество движения переносимое за 1 с через сечения, перпендикулярного к оси X, определится уравнением

где градиент скорости вдоль оси X, характеризующий быстроту изменения скорости вдоль этой оси (изменение скорости на каждую единицу длины). Знак минус означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости.

Коэффициент называется коэффициентом вязкости или коэффициентом внутреннего трения газа и так же, как коэффициенты диффузии и теплопроводности, зависит от свойств газа. Иногда коэффициент определенный уравнением (48.1), называют коэффициентом динамической вязкости, в отличие от коэффициента кинематической вязкости, равного отношению где плотность газа (об этой величине см. ниже).

Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен количеству движения, которое переносится в единицу времени (1 с) через площадку в при градиенте скорости (внаправлении, перпендикулярном к площадке), равном единице (1 см/с на 1 см длины).

За единицу вязкости в системе единиц СИ принимается коэффициент вязкости такого вещества (газа), в котором при градиенте скорости, равном единице через площадку в переносится количество движения за 1 с. Значит, коэффициент вязкости измеряется в единицах . В системе СГС коэффициент вязкости измеряется в единицах Эта единица называется пуаз. Коэффициент кинематической вязкости измеряется соответственно этому в Единица называется стоке.

При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса этих слоев (увеличение или уменьшение). Это значит, что на каждый из слоев действует сила, равная изменению импульса в единицу времени (второй закон Ньютона). Ведь в уравнении (48.1) — это перенос импульса в единицу времени! Следовательно, вязкость приводит к тому, что любой слой газа, движущийся относительно соседнего, испытывает действие некоторой силы.

Сила эта есть не что иное, как сила трения между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Отсюда и название внутреннее трение. Уравнение (48.1) можно поэтому записать и в виде

где — сила, действующая на единицу площади поверхности, разделяющей два соседних слоя газа. Коэффициент вязкости численно равен силе, действующей на единицу площади при градиенте скорости, равном единице.

Внутреннее трение является причиной того, что для протекания газа (или жидкости) через трубу требуется некоторая разность давлений. Чтобы скорость течения имела некоторое данное значение, эта разность давлений должнабыть тем больше, чем больше коэффициент внутреннего трения

Зависимость между объемом V протекающего в единицу времени через сечение трубы газа и требуемой для этого разностью давлений устанавливается известной формулой Пуазейля:

где I — длина трубы и ее радиус.

Пользуясь этой формулой, можно, измерив объем газа, протекшего за некоторый промежуток времени через трубу, разность давлений на ее концах и зная геометрические размеры трубы, определить коэффициент вязкости газа.

Вычисление коэффициента вязкости газов. Величину коэффициента вязкости газа можно оценить способом, подобным тому, который был применен при вычислении коэффициентов теплопроводности и диффузии.

Если газ течет с некоторой скоростью то это значит, что все его молекулы обладают этой скоростью сверх скорости теплового движения, которое в текущем газе происходит совершенно также, как и в покоящемся. Каждая молекула имеет, следовательно, импульс (т—масса молекулы), направленный в одном для всех молекул направлении. Обычно скорость течения газа значительно меньше средней скорости теплового движения его молекул.

Рассмотрим площадку параллельную скорости течения газа и, следовательно, перпендикулярную к направлению переноса импульса (рис. 60). Пусть скорость течения газа убывает в направлении оси X, т. е. скорость течения справа от площадки меньше, чем слева от нее. Благодаря обмену молекулами между обоими слоями газа (обмен происходит из-за тепловых движений) это различие уменьшается. Молекулы справа от замещаются другими молекулами, пришедшими слева, имеющими большую скорость и, следовательно, больший импульс. При столкновении этих молекул с молекулами, находившимися до этого справа от большая скорость течения распределится между. всеми молекулами справа, после чего скорость течения этого слоя, а следовательно, и импульс, станут больше, в то время как скорость и импульс слоя газа слева от уменьшатся.

Рис. 60.

Другими словами, обмен молекулами, обусловленный тепловыми движениями, приводит к выравниванию скоростей течения различных слоев газа. Таков механизм переноса импульса в направлении оси X от одного слоя текущего газа к другому.

Величина потока импульса переносимого в единицу времени (1 с) через единицу площади площадки определится разностью импульсов переносимых молекулами, пересекающими площадку слева и справа. Импульс переносимый молекулами слева направо, равен произведению импульса отдельной молекулы на число молекул, пересекающих единицу площади в единицу времени. Последнее, как было показано выше, равно число молекул в единице объема, — средняя скорость теплового

движения молекулы). Импульс отдельной молекулы, который она приносит, пересекая площадку тот импульс, которым молекула обладала при последнем столкновении перед площадкой, т. е. на расстоянии порядка средней длины свободного пробега X от площадки.

Если скорость течения газа на расстоянии X слева от равна то импульс молекулы, связанный с течением газа, равен — масса молекулы). Таким образом,

Соответственно для молекул, пересекающих площадку справа,

где скорость течения газа на расстоянии X справа от Результирующий поток импульса через единицу площади за 1 с равен

где разность скоростей течения газа в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии т. е.

откуда

Сравнивая это выражение с (48.1), получаем выражение для коэффициента вязкости:

где плотность газа.

Выражение (48.3), так же как и полученное ранее значение коэффициента теплопроводности, дает оценку коэффициента вязкости с точностью до численного множителя, который только приблизительно равен 1/3.

Из этого выражения видно, что коэффициент вязкости тоже не должен зависеть от давления, так как произведение не зависит от давления. Опыты по измерению вязкости в широком диапазоне давлений подтверждают этот вывод.

Из сравнения выражений для коэффициентов теплопроводности (47.3) и вязкости (48.3) видно, что между ними существует простое соотношение:

где удельная теплоемкость при постоянном объеме. Это уравнение устанавливает связь между чисто механическими и тепловыми явлениями (теплопроводность) в газе. Входящие в него величины непосредственно измеряются на опыте.

Таблица 10 (см. скан)

В табл. 10 приведены данные измерений коэффициентов вязкости, теплопроводности и удельной теплоемкости некоторых газов, а также вычисленные из этих данных значения отношения которое согласно (48.4) должно быть равно единице. Из таблйцы видно, что по порядку величины уравнение (48.4) хорошо удовлетворяется. Лучшего совпадения данных опыта с теоретическим значением нельзя ожидать, если принять во внимание приближенный характер вычислений коэффициентов

Коэффициент внутреннего трения должен, так же как и коэффициент теплопроводности, зависеть от температуры, так как в выражение для входит средняя скорость тепловых движений молекул, зависящая от температуры по закону Значит, коэффициент вязкости тоже должен расти с повышением температуры пропорционально

В действительности вязкость растет несколько быстрее, чем Это связно с тем, что с повышением температуры не только растет тепловая скорость молекул, но и уменьшается эффективное поперечное сечение молекул и поэтому растет длина свободного пробега; расстояние от места последнего перед данным слоем столкновения становится большим, и, следовательно, увеличивается изменение импульса, которое молекула с собой приносит.

Таким образом, изложенные здесь молекулярно-кинетические представления о механизме вязкости находятся в хорошем качественном и количественном согласии с опытом.

Так как в выражение для входит средняя длина свободного пробега, то измерение коэффициента вязкости, так же как и теплопроводности, позволяет определить (или по крайней мере оценить) размеры молекул.