§ 36. Среднее число столкновений в единицу времени и средняя длина свободного пробега молекул

По-прежнему будем считать газ идеальным, т. е. будем считать, что, за исключением момента столкновения, молекулы не взаимодействуют, не подвергаются действию каких-либо сил и движутся поэтому прямолинейно. В момент столкновения направление скорости молекулы изменяется, после чего она снова движется прямолинейно. Путь молекулы в газе представляет собой, таким образом, ломаную линию, подобную, например, изображенной на рис. 45. Каждый излом траектории отмечает место столкновения. Расстояние, которое молекула проходят между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега.

Рис. 45.

Так как молекул в газе чрезвычайно много, то не может быть речи о какой-либо регулярности в процессе столкновений, и длины прямолинейных участков на зигзагообразном пути молекулы могут быть различными. Поэтому нас будет интересовать средняя длина свободного пробега. Точно так же различным может быть и число столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени, и следует говорить только о среднем значении этой величины.

Эти две связанные между собой величины — средняя длина свободн пробега и среднее число столкновений в единицу времени — являются главными характеристиками процесса столкновений газовых молекул. В частности, те «помехи» явлениям переноса, о которых упоминалось выше, зависят от числа столкновений. Именно от этого зависит длина пути, котцрый молекула проходит между двумя данными точками в объеме газа. Как это видно из рис. 45, истинный путь молекулы между точками много больше, чем расстояние по соединяющей их прямой. Ясно, что, например, процесс диффузии, т. е. проникновение одного газа в другой, не может происходить быстро, несмотря на большую скорость молекул: столкновения в значительной степени компенсируют влияние скорости.

Среднее число столкновений, испытываемых молекулой газа в единицу времени, можно вычислить из весьма простых соображений. Молекулы будем считать твердыми упругими шариками радиуса Пусть одна из молекул движется по прямой в газе, в котором частицы равномерно распределены по объему, так что в каждом кубическом сантиметре находится молекул. Предположим сначала, что все молекулы, кроме одной, находятся в покое. Тогда наша единственная движущаяся молекула, пройдя за 1 с расстояние, равное ее средней скорости и, столкнется со всеми молекулами,

которые окажутся на ее пути. Это будут те молекулы, центры которых расположены в объеме цилиндра длиной и с площадью основания, равной эффективному поперечнику столкновения (рис. 46). Объем этого цилиндра равен сто, а число молекул в нем Таким же будет и число столкновений которые испытывает наша молекула:

Конечно, молекула не может двигаться прямолинейно, раз она сталкивается с другими молекулами. На самом деле путь, проходимый молекулой, зигзагообразный, как это показано, скажем, на рис. 47.

Рис. 46.

Рис. 47.

Это, однако, не изменяет результаты расчета; полагая, что молекула движется по прямой, мы только мысленно «выпрямили» ломаный цилиндр, изображенный на рис. 47.

Следует учесть, что движется не одна, а все молекулы газа. Это значит, что в выражение для должна входить не абсолютная (относительно стенок сосуда) скорость молекулы, а скорость ее относительно тех молекул, с которыми она сталкивается. Можно показать, приняв во внимание максвелловское распределение молекул по скоростям, что относительная скорость оотн связана с абсолютной скоростью О соотношением

Тогда для среднего числа столкновений молекулы в единицу времени получим формулу

или, поскольку мы условились считать молекулы шариками,

Чтобы найти среднее число столкновений, происходящих в единицу времени в газе, т. е. столкновений, испытываемых всеми молекулами, нужно умножить на число молекул в газе. Но так как в каждом столкновении участвуют две молекулы (встреча

одновременно трех и более молекул крайне маловероятна), то это число нужно еще разделить на 2, чтобы не считать каждое столкновение два раза. Следовательно, полное число столкновений в газе, содержащем частиц, равно

Таким образом, в единице объема газа число столкновений, происходящих каждую секунду, равно

где число молекул в единице объема.

Зная число столкновений, испытываемых одной молекулой в единицу времени, легко вычислить и среднюю длину свободного пробега.

За время молекула проходит некоторый зигзагообразный путь, равный . Изломов на этом пути столько, сколько произошло столкновений, так как каждый излом и вызван столкновением. Средняя длина свободного пробега, т. е. средняя длина прямолинейного отрезка X между столкновениями, равна отношению длины пути, пройденного молекулой, к числу испытанных ею на этом пути столкновений:

или, подставив вместо его значение из (36.3), получим:

Пользуясь этой формулой, можно найти численные значения для Проведем такой расчет, например, для воздуха (азота) при нормальных условиях (давление 1 атм, температура 273 К). Радиус молекулы азота можно считать равным число частиц в единице объема средняя скорость Отсюда

Средняя длина свободного пробега молекулы в рассматриваемых условиях равна

Естественно возникает вопрос, можно ли считать идеальным такой газ, в котором частицы каждую секунду сталкиваются миллиарды раз, а между столкновениями, т. е. «свободно», они

проходят ничтожные отрезки пути, не превосходящие нескольких стотысячных долей сантиметра? Можно ли считать молекулы такого газа невзаимодействующими? Ведь столкновение — это взаимодействие, приводящее к изменению направления скорости молекул, а столь частые столкновения означают, как будто бы, весьма сильное взаимодействие. Легко, однако, видеть, что это не так, Действительно, молекулы, как уже было указано, взаимодействуют друг с другом только в течение того времени, пока они находятся друг от друга на расстоянии порядка их диаметра время между столкновениями молекулы движутся свободно. Так как при атмосферном давлении длина свободного пробега молекулы что примерно в 1000 раз больше размеров молекул, то время пребывания молекул под взаимным воздействием во столько же раз меньше времени их свободного движения.

Другими словами, время столкновения молекул примерно в 1000 раз меньше времени между столкновениями. Следовательно подавляющую часть времени молекулы движутся свободно, а столкновения, даже при атмосферном давлении, можно считать редким событием в их жизни.

Зависимость длины свободного пробега от давления. Как видно из формулы (36.4), длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна их числу в единице объема, а следовательно, его давлению так что можно написать:

С уменьшением давления длина свободного пробега молекул возрастает в такой же мере, в какой падает давление. При определенном значении давления она станет равной размерам сосуда, в котором газ заключен, а при дальнейшем понижении давления превзойдет их. Например, в сосуде размером около 25 см (размеры, обычные в лабораторной практике) длина свободного пробега молекул сравняется с размерами сосуда уже при давлении около атм Такое давление сравнительно легко создать, так как современные средства откачки позволяют получить давления до

Когда длина свободного пробега становится равной или большей размеров сосуда, столкновения молекул в газе практически уже не происходят, и весь путь от стенки до стенки молекулы проходят, двигаясь прямолинейно.

Естественно, что газ, в котором молекулы не сталкиваются между собой, отличается по своим свойствам от обычного газа. Ниже, в гл. IV, мы познакомимся со своеобразными свойствами такого газа.

Зависимость длины свободного пробега от температуры. Из формулы (36.4) следует, что длина свободного пробега молекул не должна зависеть от температуры. Опыт, между тем, показывает, что такая зависимость, хотя и слабая, существует: с повышением

температуры длина свободного пробега возрастает. Это объясняется тем, что согласно формуле (36.4) X обратно пропорциональна поперечному сечению молекулы, А оно, как мы уже знаем, определяется расстоянием, на которое сближаются молекулы при столкновении, т. е. расстоянием, при котором сила взаимодействия между молекулами вызывает уже заметное изменение направления их движения.

Легко видеть, что поперечное сечение молекул должно зависеть от их скорости (энергии), так как при одной и той же силе взаимодействия быстрые молекулы испытывают меньшее отклонение от своего пути, чем более медленные молекулы. Поэтому, чем больше скорость молекул, тем больше должна быть сила, вызывающая их отклонение, следовательно, тем меньше должно быть расстояние между ними при столкновении. Это и значит, что с увеличением скорости молекул, т. е. с повышением температуры газа, поперечное сечение молекул уменьшается. Длина же свободного пробега молекул с повышением температуры, растет. Эта слабая зависимость X от температуры объясняет некоторые явления, которые будут рассмотрены ниже.

Факт зависимости длины свободного пробега от температуры может служить подтверждением изложенных выше соображений о смысле понятия «размер молекулы». Если бы молекулы действительно были твердыми шариками, то не могло бы быть и речи об изменении их размеров при изменении скорости. На самом деле размеры частиц (не только молекул газа!) определяются расстоянием между ними при максимальном сближении, а оно не может не зависеть от скорости частиц, а значит (в случае газовых молекул) и от температуры. Это, однако, не мешает тому, что в. целом ряде случаев взаимодействие между молекулами можно с достаточной степенью точности рассматривать как взаимодействие между твердыми шариками.