§ 4. Уравнение состояния идеального газа

Развитые выше молекулярно-кинетические представления и полученные на их основе уравнения позволяют найти те соотношения, которые связывают между собой величины, определяющие состояние газа. Этими величинами являются: давление под которым находится газ, его температура и объем V, занимаемый определенной массой газа. Их называют параметрами состояния.

Перечисленные три величины не являются независимыми. Каждая из них является функцией двух других. Уравнение, связывающее все три величины — давление, объем и температуру газа для данной его массы, называется уравнением состояния и может быть в общем виде записано так:

Это значит, что состояние газа определяется только двумя параметрами (например, давлением и объемом, давлением и температурой или, наконец, объемом и температурой), третий параметр однозначно определяется двумя другими. Если уравнение состояния известно в явном виде, то любой параметр можно вычислить, зная два других.

Для изучения различных процессов в газах (и не только в газах) удобно пользоваться графическим представлением уравнения состояния в виде кривых зависимости одного из параметров от другого при заданном постоянном третьем. Например, при заданной постоянной температуре зависимость давления газа от его объема

имеет вид, изображенный на рис. 4, где разные кривые соответствуют разным значениям температуры: чем выше температура, тем выше на графике лежит кривая. Состояние газа на такой диаграмме изображается точкой. Кривая же зависимости одного параметра от другого показывает изменение состояния, называемое процессом в газе. Так, например, кривые рис. 4 изображают процесс расширения или сжатия газа при данной постоянной температуре.

В дальнейшем мы будем широко пользоваться подобными графиками при изучении различных процессов в молекулярных системах.

Рис. 4,

Для идеальных газов уравнение состояния легко получить из основных уравнений кинетической теории (2.4) и (3.1).

В самом деле, подставив в уравнение (2.4) вместо средней кинетической энергии молекул ее выражение из уравнения (3.1), получаем:

Если в объеме V содержится частиц, то подставив это выражение в (4.1), имеем:

Это уравнение, в которое входят все три параметра состояния, и является уравнением состояния идеальных газов.

Его, однако, полезно преобразовать так, чтобы в него вместо недоступного прямому измерению числа частиц входила легко измеряемая масса газа Для такого преобразования воспользуемся понятием о грамм-молекуле, или моле. Напомним, что молем вещества называется такое его количество, масса которого, выраженная в граммах, равна относительной молекулярной массе вещества (иногда говорят: молекулярному весу). Эта своеобразная единица количества вещества замечательна, как известно, тем, что моль любого вещества содержит одно и то же число молекул. В самом деле, если обозначить относительные массы двух каких-либо веществ через и а массы молекул этих веществ — через то можно написатьтакие очевидные равенства;

где числа частиц в моле этих веществ. Так как из самого определения относительной массы вытекает, что то,

разделив первое из равенств (4,3) на второе, получим, что что моль любого вещества содержит одинаковое число молекул.

Число частиц в моле, одинаковое для всех веществ, называется числом Авогадро. Мы будем его обозначать через Мы можем, таким образом, определить моль как единицу особой величины — количества вещества:

1 моль — это количество вещества, содержащее число молекул или других частиц (например, атомов, если вещество состоит из атомов), равное числу Авогадро.

Если разделить число молекул в данной массе газа на число Авогадро то" мы получим число молей в этой массе газа. Но эту же величину можно получить, разделив массу газа на его относительную массу так что

Подставим это выражение для в формулу (4,2). Тогда уравнение состояния примет вид:

В это уравнение входят две универсальные константы: число Авогадро и постоянная Больцмана Зная одну из них, например постоянную Больцмана, можно другую (число Авогадро) определить простыми опытами, пользуясь самим уравнением (4.4). Для этого следует взять какой-нибудь газ с известным значением относительной массы заполнить им сосуд известного объема V, измерить давление этого газа и его температуру и определить его массу взвесив пустой (откачанный) сосуд и сосуд, наполненный газом. Число Авогадро оказалось равным моль.

Наиболее точное к настоящему времени значение числа Авогадро:

Произведение универсальных констант очевидно, тоже является универсальной константой. Она получила название универсальной газовой постоянной и обычно обозначается через

(Точное значение: )

Заменив в уравнении универсальной газовой постоянной получим:

Представленное в таком виде уравнение состояния идеального газа часто называют уравнением Клапейрона — Менделеева. Величина входящая в это уравнение, представляет собой число молей в данной массе газа. Для одного моля газа, т. е. для случая, когда уравнение (4,5) имеет вид: