§ 5. Законы идеального газа

Известные уже давно законы, управляющие поведением газов, были в свое время открыты опытным путем (закон Бойля-Мариотта установлен еще в Нетрудно убедиться, что все эти законы могут быть получены из приведенных выше уравнений кинетической теории газов.

Закон Бойля — Мариотта. Рассмотрим газ в условиях, когда его температура поддерживается постоянной (такие условия называются изотермическими). Если в уравнении состояния (4.5) положить то ясно, что вся правая часть уравнения оказывается величиной постоянной, так что

Эта формула, которую называют уравнением изотермы, и выражает закон Бойля-Мариотта, согласно которому при постоянной температуре сжатие и расширение газа, т. е. изменение его объема, сопровождается таким изменением давления, что произведение давления на объем остается величиной постоянной. Графически зависимость от V для различных температур изображена на рис. 4. Из формулы (5.1) видно, что эти кривые, называемые изотермами, представляют собой гиперболы.

Закон Бойля — Мариотта показывает, как изменяется давление газа с изменением его объема при постоянной температуре и, конечно, при неизменной массе.

Сжимаемость идеального газа. Изотермический коэффициент сжимаемости. Свойство газа, как и всякого другого тела, изменять давление при изменении объема называется сжимаемостью. Если изменение объема происходит так, что температура газа при этом не меняется, то сжимаемость характеризуется изотермическим коэффициентом сжимаемости который определяется как относительное изменение объема, вызывающее изменение давления на единицу. Очевидно, что

Здесь изменение объема газа, вызывающее изменение давления на величину первоначальный объем (относительным

изменением какой-либо величины и называется отношение изменения этой величины к ее первоначальному значению). Индекс производной показывает, что она берется при

Для идеального газа легко вычислить значение Из уравнения состояния (4.5) получаем:

Отсюда

Знак минус указывает на то, что увеличение объема приводит к уменьшению давления.

Изотермический коэффициент сжимаемости идеального газа равен, таким образом, обратной величине его давления и измеряется в системе СИ в единицах а в системе в единицах

С ростом давления величина конечно, уменьшается, так как чем больше давление, тем меньше у газа возможностей для того, чтобы еще больше сжиматься.

Рис. 5.

Закон Гей-Люссака. Пусть теперь газ находится в условиях, когда постоянным сохраняется его давление но изменяется температура. Такие условия можно осуществить, если поместить газ в цилиндр, закрытый подвижным поршнем (рис. 5). В таком цилиндре изменение температуры вызывает перемещение поршня и изменение объема. Давление же остается постоянным.

Из уравнения состояния (4.5) видно, что в этом случае постоянным будет отношение объема газа к его температуре:

Это уравнение, называемое уравнением изобары (процесс, происходящий при постоянном давлении, называется изобарическим), выражает известный закон Гей-Люссака (иногда его называют, без достаточных, впрочем, оснований, законом Шарля).

График изобары как это видно из (5.4), имеет вид прямой, исходящей из начала координат.

Коэффициент объемного расширения газа при постоянном давлении. Коэффициент объемного расширения а может быть представлен в виде, аналогичном коэффициенту сжимаемости:

Из уравнения состояния (4.5) следует, что откуда

т. е. коэффициент объемного расширения идеального газа равен обратной величине абсолютной температуры. При например, он равен

Изохорический процесс. Когда газ находится в таких условиях, что постоянным остается его объем (происходящие в таких условиях процессы называются изохорическими), то, как это видно из уравнения состояния газа (4.5), изменение давления газа при изменении его температуры происходит так, что отношение остается постоянным:

Это утверждение, однако, нельзя считать законом природы. Температурная шкала идеального газа строится именно на основе предположения, что (см. § 3). Поэтому экспериментальная проверка этого «закона» не может дать иного результата.

Закон Авогадро. Из уравнения состояния идеального газа непосредственно следует и закон Авогадро, согласно которому при одинаковых давлениях и температурах в равных объемах любого газа содержится одинаковое число молекул. Действительно, пусть мы имеем два одинаковых объема двух различных газов при одинаковых давлениях и температурах. Для каждого из них можно написать уравнение состояния в форме (4.2):

где и число молекул в каждом из объемов. Из этих двух равенств непосредственно следует, что

Это и есть закон Авогадро.

Из этого закона с очевидностью следует, что и, наоборот, различные газы, но содержащие одинаковое число молекул, будут при одинаковых давлениях и температурах занимать одинаковые объемы. Поэтому моль любого газа при данных давлении и температуре занимает одинаковый объем. В частности, при температуре 0°С (273,15 К) и давлении моль любого газа занимает объем

Точное значение:

Легко вычислить и число молекул в при этих (так называемых нормальных) условиях:

Это число называется числом Лошмидта.

Закон Дальтона. Пусть в сосуде объемом V имеется находящаяся в состоянии теплового равновесия смесь различных газов, не реагирующих химически друг с другом. Для такой смеси уравнение состояния имеет вид

где — числа молекул соответствующих компонентов смеси. Очевидно, что

где общее число молекул в сосуде. Давление газа

Это выражение показывает, что каждая группа молекул оказывает давление, не зависящее от того, какое давление оказывают другие молекулы. Это обусловлено тем, что в идеальном газе между молекулами нет взаимодействия, молекулы «не знают» о существовании других молекул. Выражения

представляют собою давление каждого из компонентов смеси, занимающей объем V, т. е. являются парциальными давлениями компонентов смеси. Напомним, что парциальным давлением какого-либо газа — компонента газовой смеси — называется давление, которое оказывал бы этот газ, если бы он один занимал весь объем, занимаемый смесью. Таким образом,

т. е. давление смеси газов равно сумме парциальных давлений ее компонентов. Это и есть содержание закона Дальтона, который, очевидно, справедлив только для идеальных газов.

Опыт показывает, что при достаточно высоких давлениях (порядка десятков атмосфер), когда газы уже нельзя считать идеальными, наблюдаются отклонения (в ту и другую сторону) от закона Дальтона.

Пользуясь основными результатами кинетической теории газов, мы, таким образом, получили законы, управляющие поведением газов, установленные экспериментально задолго до того, как была развита теория. Это в какой-то мере подтверждает правильность теории, позволяет считать ее проверенной опытом. Это указывает также на то, что газовые законы, рассмотренные выше, относятся только к идеальным газам, что, вообще говоря, не было известно до появления кинетической теории газов. Опыт в самом деле показывает, что когда условия идеальности не выполнены, то наблюдаются отклонения от газовых законов. Можно поэтому считать, что строгое следование приведенным выше газовым законам является признаком идеальности газа. Именно поэтому идеальным иногда называют газ, следующий, например, законам Бойля — Мариотта или Гей-Люссака.