§ 13. Распределение молекул по скоростям

Полученное только что выражение для функции распределения молекул газа по -компонентам скоростей

не может быть «привилегией» именно -компоненты скорости. Очевидно, что совершенно такие же выражения должны определять и распределения молекул по другим компонентам скоростей, так что

Теперь мы можем найти и вероятность того, что скорость молекулы удовлетворяет одновременно трем условиям:

1) ее составляющая по оси X лежит в пределах от до

2) составляющая по оси лежит в пределах, от до

3) составляющая по оси лежит в пределах от до Значения составляющих скорости по каждой из осей координат не зависят от значений составляющих по другим осям. Поэтому вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трем указанным условиям, есть вероятность сложного «события». А она, как мы знаем, равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности. Если мы обозначим через число молекул в единице объема газа, составляющие которых по осям координат лежат в пределах, указанных выше, то мы можем написать:

где Отсюда

или

Эта формула показывает, сколько молекул из числа находящихся в единице объема газа обладают скоростями, составляющие которых по осям координат лежат в интервалах между и т. е. обладают скоростью, лежащей в интервале, заданном и по величине, и по направлению. Этой формуле можно дать наглядное геометрическое толкование.

Рис. 12.

Представим себе, что мы собрали все молекулы единицы объема газа, компоненты скорости которых заключены в указанных выше интервалах, и выпустили их. Через 1 секунду все они окажутся на расстоянии от начального положения в параллелепипеде со сторонами т. е. в объеме Это показано на рис. 12, на котором наш мысленный опыт представлен в своеобразной системе координат, по осям которой отложены составляющие Число молекул, отнесенное к единице объема этого параллелепипеда (не путать с числом молекул

в единице объема газа; здесь идет речь о единице объема в «пространстве» скоростей), согласно (13.1) равно

Величина эта не может, конечно, зависеть от направления вектора скорости Поэтому нетрудно теперь найти и функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления. Действительно, если собрать вместе все молекулы единицы объема газа, скорости которых заключены в интервале от до по всем направлениям, и выпустить их, то они, разлетаясь по всем направлениям, через 1 секунду окажутся равномерно распределенными в шаровом слое толщиной и радиусом (рис. 13).

Рис. 13.

Этот шаровой слой складывается из тех «параллелепипедов», о которых говорилось выше. Число молекул в единице объема этого слоя (его, опять-таки, нельзя путать с числом молекул в единице объема газа) такое же, как и в каждом параллелепипеде, т. е. определяется формулой (13.1). Число же молекул во всем слое — это и есть число молекул в единице объема газа, скорости которых лежат в интервале от до

Число это, очевидно, равно

где объем шарового слоя, равный Таким образом,

или

Эта формула выражает закон Максвелла распределения молекул по скоростям.

Величина — это вероятность того, что у произвольно выбранной молекулы газа скорость окажется лежащей в интервале между Иными словами, — это доля всех молекул единицы объема, скорости которых лежат в интервалеот до

Величина

представляет собой функцию распределения молекул по скоростям. Она определяет долю молекул единицы объема газа, скорости которых заключены в интервале скоростей, равном единице, включающем данную скорость.

Рис. 14.

Графически вид функции распределения Максвелла представлен на рис. 14. Как и следовало ожидать, она обращается в нуль при и при в газе нет неподвижных молекул и нет молекул с бесконечно большими скоростями. Как видно из кривой рис. 14, функция распределения имеет максимум при некотором значении скорости Это значит, что наибольшая доля всех молекул газа движется со скоростями, значения которых близки к Можно также сказать, что скорости, близкие к встречаются у молекул газа чаще других, что вероятность того, что скорость молекулы близка к наибольшая. Поэтому скорость которой соответствует максимум кривой распределения Максвелла, называется наивероятнейшей скоростью.

Рис. 15.

Чтобы лучше понять различие между распределением по скоростям и распределением по компонентам скоростей, рассмотрим аналогию с другим процессом, в котором, так же как в случае с установлением распределения молекул, главную роль играют законы случайности.

Представим себе, что производится стрельба в мишень, на которой целью служит точка в ее центре. Как бы ни был искусен стрелок и совершенно оружие, пули отнюдь не будут попадать точно, в цель, а будут ложиться вблизи от нее на различных расстояниях от цели (рис. 15). Это объясняется различными факторами, которые нельзя учесть: не вполне одинаковые заряды в патроне, влияние ветра и др.

(в случае газа роль таких случайных факторов играют столкновения между молекулами, о которых речь будет ниже). При достаточно большом числе выстрелов распределение пуль вокруг цели, т. е. распределение по расстояниям от нее, подчиняется, как оказывается, вполне определенному закону. Нетрудно выяснить характер этого закона. На рис. 15 изображено распределение попаданий вокруг цели. Можно оценить это распределение двояким образом.

Можно разделить всю площадь мишени на кольцевые полосы (рис. 16), как это делается при соревнованиях по стрельбе, проведя ряд окружностей на равных расстояниях друг от друга, и определять число попаданий в каждой полосе, т. е. число попаданий, приходящихся на данное расстояние от цели в интервале от до

Рис. 16.

Рис. 17.

В этом случае в центральном кружке, если он достаточно мал, число попаданий будет близко к нулю, потому что в достаточно малый кружок нельзя попасть. С увеличением расстояния кольцевой полосы от центра число попаданий в нее будет сначала расти, достигнет некоторого максимума, после чего оно будет убывать и на достаточном удалении от цели станет равным нулю (см. кривую на рис. 16).

Можно поступить и другим путем. Разобьем площадь мишени на полосы, проведя ряд параллельных прямых, отстоящих друг от друга на таком же расстоянии (рис. 17). Если теперь определять число попаданий приходящихся на каждую полосу, то окажется,

как это легко видеть из рисунка, что оно монотонно убывает по мере удаления от центральной полосы, стремясь к нулю на достаточно большом расстоянии от цели; это видно на кривой рис. 17, аналогичной кривой на рис. 11.

Первый из изложенных способов описания распределения соответствует определению функции второй — определению распределения по компонентам скоростей.

Пользуясь кривой распределения молекул по скоростям, можно графически найти долю молекул в единице объема газа, скорости которых лежат в заданном интервале скоростей Она равна площади заштрихованной полосы на рис. 14 с основанием и высотой Ясно, что вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью скоростей, дает нам общее число молекул в единице объема.

Рис. 18.

Как видно из формулы (13.3), вид кривой распределения зависит от природы газа (в формулу входит масса молекулы и от температуры. На рис. 18 приведены кривые распределения молекул азота по скоростям при различных температурах. Из них видно, что при повышении температуры скорости молекул возрастают, так что вся кривая смещается в сторону больших скоростей. Но площади, ограниченные кривыми и осью скоростей, остаются, конечно, неизменными. Вследствие этого максимум кривой при повышении температуры уменьшается.

При выводе уравнения Максвелла распределения молекул по скоростям мы совершенно не принимали во внимание столкновения между молекулами, хотя столкновения не могут не влиять на скорости молекул, а значит и на распределение их по скоростям. В действительности именно благодаря столкновениям и устанавливается максвелловское распределение по скоростям. В самом деле, представим себе, что газ находится в таком состоянии, что все молекулы имеют одинаковые (по модулю) скорости. Такое состояние не может быть устойчивым (равновесным), потому что столкновения между молекулами непременно приведут к тому, что скорости молекул перестанут быть одинаковыми. При каждом столкновении двух молекул скоростьодной из них увеличивается, а скорость другой уменьшается. И Максвелл впервые обратил внимание на то, что должно существовать такое состояние, при котором число молекул, скорость которых при столкновениях увеличивается, равно числу молекул, у которых скорость в результате столкновений уменьшается. Такое состояние и является равновесным. Именно такому состоянию и соответствует максвелловское распределение по скоростям. Позже

Больцман показал, что если газ находится в состоянии, в котором его молекулы распределены по скоростям не по Максвеллу, то такой газ, благодаря столкновениям молекул, сам собой переходит в состояние с максвелловским распределением.

Распределение Максвелла (иногда говорят: распределение Максвелла — Больцмана) — это равновесное распределение. Мы с этого и начали наше рассмотрение. Поэтому, например, при выводе формулы (12.4) нам не нужно было учитывать столкновения. Ведь если какие-то молекулы, покинувшие слой из-за столкновений не дошли до слоя то зато какие-то другие молекулы, которые не должны были в него попасть, дошли до него в результате столкновений.

Молекулярные движения, происходящие в газе, мы все время называли хаотическими. Теперь мы можем дать точное определение понятию хаотичности тепловых движений: движение молекул полностью беспорядочно (хаотично), если скорости молекул распределены по закону Максвелла.

Такие вполне хаотические движения молекулы совершают, когда газ находится в состоянии равновесия. Как мы видели в § 3, это состояние характеризуется величиной температуры, которая в свою очередь определяется средней кинетической энергией движения молекул. Отсюда следует, что температура определяется средней кинетической энергией именно хаотических движений. Всякое же направленное движение молекул, каковы бы ни были их скорости в таком движении, никакого отношения к температуре не имеет. Как бы велика ни была скорость воздуха, образующего сильный ветер, она не сделает его горячим. Ветры, даже самые сильные, могут быть и теплыми и холодными, потому что температура газа определяется не направленной скоростью ветра, а теми хаотическими движениями, которые молекулы совершают наряду с направленным движением газа как целого и независимо от него.