§ 124. Связь между модулями упругости

Модули упругости и сдвига, естественно, связаны друг с другом, поскольку они являются характеристиками в сущности одного процесса — перестройки атомов в решетке под действием внешней нагрузки. Мы найдем соотношения, связывающие упругие модули, если рассмотрим общий случай действия произвольных сил на тело.

Пусть, например, к телу, имеющему форму куба, приложены произвольные силы. Каждую из них мы можем разложить на составляющие по трем осям координат. Напряжения, направленные по осям обозначим через Каждое из них вызывает соответствующие относительные удлинения:

Необходимо, однако, принять во внимание, что каждое удлинение вдоль оси сопровождается поперечным сжатием вдоль двух других. Так, удлинение сопровождается сжатием по оси равным и пооси также равным Точно так же напряжение вызывает не только удлинение но и сжатия по осям но по осям оно вызывает сжатия

Поэтому из выражений для удлинения X нужно вычесть сжатия по соответствующим перпендикулярным осям. Тогда формулы для удлинений вдоль осей примут вид:

Эти выражения дают в общем виде величины деформаций по осям

Предположим теперь, что (всестороннее сжатие). Тогда выражение для примет вид:

Аналогичный вид имеют выражения для Значит, при всестороннем сжатии относительное удлинение вдоль одной из осей равно в то время как при одностороннем сжатии оно равно (вдоль направления напряжения).

Из формул (124.3) легко получить выражение для относительного изменения объема при любых деформациях и связь между модулем объемной деформации и модулем Юнга.

Пусть деформации подвергается тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер равны и Объем его равен, очевидно, Под действием приложенных напряжений объем тела изменится на величину:

Относительное изменение объема будет в таком случае равно

Пользуясь формулой (124.3), мы получим, что при всестороннем растяжении или сжатии, когда относительное изменение объема равно:

Но, как мы знаем,

следовательно, модуль объемной деформации связан с модулем Юнга соотношением

Деформация сдвига не сопровождается, как известно, изменением объема. Это значит, что

Подставим в эту формулу вместо их значения из формул (124.2). Тогда

или

Только при таком подборе напряжений возможна деформация сдвига. Из уравнения следует, что

Подставив в (124.2) это выражение для получим:

представляет собой отношение смещения грани при сдвиге к длине этой грани. Оно, как легко видеть, равно половине угла сдвига (при малых смещениях) и характеризует деформацию сдвига, так что формулу (124.4) можно записать в виде:

или

Эта формула и дает связь между модулем сдвига, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона.

В табл. 19 приведены значения модулей упругости различных веществ.

Таблица 19 (см. скан)