Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 7. Броуновское движениеОдним из наиболее убедительных доказательств реальности движения молекул служит явление так называемого броуновского движения, открытого в 1827 г. английским ботаником Броуном при изучении взвешенных в воде мельчайших спор. Он обнаружил, при рассмотрении под микроскопом с большим увеличением, что эти споры находятся в непрерывном беспорядочном движении, как бы исполняя дикий фантастический танец. Дальнейшие опыты показали, что эти движения не связаны с биологическим происхождением частиц или с какими-либо движениями жидкости. Подобные движения совершают любые малые частицы, взвешенные в жидкости или газе. Такого рода беспорядочные движения совершают, например, частицы дыма в неподвижном воздухе. Такое беспорядочное движение частиц, взвешенных в жидкости или газе, и получило название броуновского движения. Специальные исследования показали, что характер броуновского движения зависит от свойств жидкости или газа, в которых взвешены частицы, но не зависит от свойств вещества самих частиц. Скорость движения броуновских частиц возрастает с повышением температуры и с уменьшением размеров частиц. Все эти закономерности легко объяснить, если мы примем, что движения взвешенных частиц возникают вследствие ударов, испытываемых ими со стороны движущихся молекул жидкости или газа, в которых они находятся. Конечно, каждая броуновская частица подвергается таким ударам со всех сторон. При полной беспорядочности молекулярных движений можно, казалось бы, ожидать, что число ударов, обрушивающихся на частицу с какого-нибудь направления, должно быть в точности равно числу ударов с противоположного направления, так что все эти толчки должны полностью компенсировать друг друга и частицы должны оставаться неподвижными. Так именно и происходит, если частицы не слишком малы. Но когда мы имеем дело с микроскопическими частицами Ясно, что движения броуновских частиц — это не молекулярные движения: мы видим не результат удара одной молекулы, а результат преобладания числа ударов одного направления над числом ударов в противоположном направлении. Броуновское движение лишь очень ясно обнаруживает само существование беспорядочных молекулярных движений. Таким образом, броуновское движение объясняется тем, что благодаря случайной неодинаковости чисел ударов молекул о частицу с разных направлений возникает некоторая равнодействующая сила определенного направления. Так как флуктуации обычно бывают кратковременными, то через короткий промежуток времени направление равнодействующей изменится, а вместе с ней изменится и направление перемещения частицы. Отсюда наблюдающаяся хаотичность броуновских движений, отражающая хаотичность молекулярного движения. Приведенное качественное объяснение броуновского движения мы теперь дополним количественным рассмотрением этого явления. Количественная теория его была впервые дана Эйнштейном и, независимо, Смолуховским (1905 г.). Мы приведем здесь более простой, чем у этих авторов, вывод основного соотношения этой теории. Вследствие неполной компенсации ударов молекул на броуновскую частицу действует, как мы видели, некоторая результирующая сила Для простоты предположим, что частица имеет форму сферы радиуса а. Тогда сила трения
где
Здесь Рассмотрим проекцию радиуса-вектора
где Наша задача состоит в том, чтобы найти смещение х броуновской частицы, которое она получает под действием ударов молекул. Каждая из частиц все время подвергается соударениям с молекулами, после чего она меняет направление своего движения. Различные частицы получают смещения, отличающиеся как по величине, так и по направлению. Вероятное значение суммы смещений всех частиц равно нулю, так как смещения с равной вероятностью могут иметь и положительный, и отрицательный знак. Среднее значение проекции смещения частиц х будет поэтому равно нулю. Не будет, однако, равно нулю среднее значение квадрата смещения, т. е. величина хтак как
Используем очевидные тождества:
Подставив эти выражения в (7.3), получим:
Это равенство справедливо для любой частицы и поэтому оно справедливо также и для средних значений входящих в него величин, если усреднение вести по достаточно большому числу частиц. Поэтому можно написать:
где
Величина
Очевидно также, что сумма этих величин должна быть равна среднему значению квадрата скорости частиц
Следовательно,
Таким образом, интересующее нас выражение, входящее в (7.4), равно:
Величина жидкости (или газа), которая, как мы знаем, равна
и следовательно
То обстоятельство, что средняя кинетическая энергия броуновской частицы равна Вернемся теперь к уравнению (7.4) и, учтя (7.5), перепишем его
Это уравнение легко интегрируется. Обозначив
и после разделения переменных наше уравнение преобразуется в виде:
Интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от 0 до
или
Отсюда
Величина
Для конечных промежутков времени
отсюда
Среднее значение квадрата смещения броуновской частицы за промежуток времени Формула (7.7) позволяет вычислять среднее значение квадрата перемещений, причем среднее берется по всем частицам, участвующим в явлении. Но эта формула справедлива и для среднего значения квадрата многих последовательных перемещений одной-единственной частицы за равные промежутки времени, С экспериментальной точки зрения удобнее наблюдать именно перемещения одной частицы. Такие наблюдения и были проведены Перреном в 1909 г. Движение частиц Перрен наблюдал через микроскоп, окуляр которого был снабжен сеткой взаимно перпендикулярных линий, служивших координатной системой. Пользуясь Следует иметь в виду, что движения частицы значительно сложнее, чем об этом можно судить по рис. 7, так как здесь отмечены положения через не слишком малые промежутки времени (порядка 30 с). Если уменьшить эти промежутки, то окажется, что каждый прямолинейный отрезок на рисунке развернется в такую же сложную зигзагообразнуютраекторию, как и весь рис. 7.
Рис. 7. Из своих наблюдений Перрен мог измерить смещения Формула (7.7) может быть использована для определения постоянной Больцмана Опыты Перрена имели большое значение для окончательного обоснования молекулярно-кинетической теории.
|
1 |
Оглавление
|