§ 7. Броуновское движение

Одним из наиболее убедительных доказательств реальности движения молекул служит явление так называемого броуновского движения, открытого в 1827 г. английским ботаником Броуном при изучении взвешенных в воде мельчайших спор. Он обнаружил, при рассмотрении под микроскопом с большим увеличением, что эти споры находятся в непрерывном беспорядочном движении, как бы исполняя дикий фантастический танец.

Дальнейшие опыты показали, что эти движения не связаны с биологическим происхождением частиц или с какими-либо движениями жидкости. Подобные движения совершают любые малые частицы, взвешенные в жидкости или газе. Такого рода беспорядочные движения совершают, например, частицы дыма в неподвижном воздухе. Такое беспорядочное движение частиц, взвешенных в жидкости или газе, и получило название броуновского движения.

Специальные исследования показали, что характер броуновского движения зависит от свойств жидкости или газа, в которых взвешены частицы, но не зависит от свойств вещества самих частиц. Скорость движения броуновских частиц возрастает с повышением температуры и с уменьшением размеров частиц.

Все эти закономерности легко объяснить, если мы примем, что движения взвешенных частиц возникают вследствие ударов, испытываемых ими со стороны движущихся молекул жидкости или газа, в которых они находятся.

Конечно, каждая броуновская частица подвергается таким ударам со всех сторон. При полной беспорядочности молекулярных движений можно, казалось бы, ожидать, что число ударов, обрушивающихся на частицу с какого-нибудь направления, должно быть в точности равно числу ударов с противоположного направления,

так что все эти толчки должны полностью компенсировать друг друга и частицы должны оставаться неподвижными.

Так именно и происходит, если частицы не слишком малы. Но когда мы имеем дело с микроскопическими частицами см), дело обстоит иначе. Ведь из того факта, что молекулярные движения хаотичны, следует лишь, что в среднем число ударов разных направлений одинаково. Но в такой статистической системе, как жидкость или газ, неизбежны и отклонения от средних значений. Такие отклонения от средних значений тех или иных величин, которые происходят в малом объеме или в течение малых промежутков времени, называются флуктуациями. Если в жидкости или газе находится тело обычных размеров, то число толчков, которое оно испытывает со стороны молекул, так велико, что нельзя заметить ни отдельных толчков, ни случайного преобладания толчков одного направления над толчками других направлений. Для малых же частиц общее число испытываемых ими толчков сравнительно невелико, так что преобладание числа ударов то одного, то другого направления становится заметным, и именно благодаря таким флуктуациям числа ударов и возникают те характерные, как бы судорожные движения взвешенных частиц, которые и называются броуновским движением.

Ясно, что движения броуновских частиц — это не молекулярные движения: мы видим не результат удара одной молекулы, а результат преобладания числа ударов одного направления над числом ударов в противоположном направлении. Броуновское движение лишь очень ясно обнаруживает само существование беспорядочных молекулярных движений.

Таким образом, броуновское движение объясняется тем, что благодаря случайной неодинаковости чисел ударов молекул о частицу с разных направлений возникает некоторая равнодействующая сила определенного направления. Так как флуктуации обычно бывают кратковременными, то через короткий промежуток времени направление равнодействующей изменится, а вместе с ней изменится и направление перемещения частицы. Отсюда наблюдающаяся хаотичность броуновских движений, отражающая хаотичность молекулярного движения.

Приведенное качественное объяснение броуновского движения мы теперь дополним количественным рассмотрением этого явления. Количественная теория его была впервые дана Эйнштейном и, независимо, Смолуховским (1905 г.). Мы приведем здесь более простой, чем у этих авторов, вывод основного соотношения этой теории.

Вследствие неполной компенсации ударов молекул на броуновскую частицу действует, как мы видели, некоторая результирующая сила под действием которой частица и движется. Кроме этой силы на частицу действует сила трения вызванная вязкостью среды и направленная против силы

Для простоты предположим, что частица имеет форму сферы радиуса а. Тогда сила трения может быть выражена формулой Стокса:

где коэффициент внутреннего трения жидкости (или газа), скорость движения частицы. Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) имеет поэтому вид:

Здесь масса частицы, ее радиус-вектор относительно произвольной системы координат, скорость частицы и равнодействующая сил, вызванных ударами молекул.

Рассмотрим проекцию радиуса-вектора на одну из координатных осей, например на ось Для этой составляющей уравнение (7,1) перепишется в виде:

где составляющая результирующей силы по оси

Наша задача состоит в том, чтобы найти смещение х броуновской частицы, которое она получает под действием ударов молекул. Каждая из частиц все время подвергается соударениям с молекулами, после чего она меняет направление своего движения. Различные частицы получают смещения, отличающиеся как по величине, так и по направлению. Вероятное значение суммы смещений всех частиц равно нулю, так как смещения с равной вероятностью могут иметь и положительный, и отрицательный знак. Среднее значение проекции смещения частиц х будет поэтому равно нулю. Не будет, однако, равно нулю среднее значение квадрата смещения, т. е. величина хтак как не изменяет своего знака при изменении знака х. Преобразуем поэтому уравнение (7.2) так, чтобы в него входила величина Для этого умножим обе части этого уравнения на

Используем очевидные тождества:

Подставив эти выражения в (7.3), получим:

Это равенство справедливо для любой частицы и поэтому оно справедливо также и для средних значений входящих в него величин,

если усреднение вести по достаточно большому числу частиц. Поэтому можно написать:

где среднее значение квадрата перемещения частицы, среднее значение квадрата ее скорости. Что касается среднего значения величины входящей в равенство, то оно равно нулю, так как для большого числа частиц одинаково часто принимают как положительные, так и отрицательные значения. Уравнение (7.2) прикимает поэтому вид:

Величина в этом уравнении представляет собой среднее значение квадрата проекций скорости на ось Так как движения частиц вполне хаотичны, то средние значения квадратов проекций скорости по всем трем координатным осям должны быть равны друг другу, т. е.

Очевидно также, что сумма этих величин должна быть равна среднему значению квадрата скорости частиц

Следовательно,

Таким образом, интересующее нас выражение, входящее в (7.4), равно:

Величина есть средняя кинетическая энергия броуновской частицы. Сталкиваясь с молекулами жидкости или газа, броуновские частицы обмениваются с ними энергией и находятся в тепловом равновесии со средой, в которой они движутся. Поэтому средняя кинетическая энергия поступательного движения броуновской частицы должна быть равна средней кинетической энергии молекул

жидкости (или газа), которая, как мы знаем, равна

и следовательно

То обстоятельство, что средняя кинетическая энергия броуновской частицы равна (как и для газовой молекулы!), имеет принципиальное значение. Действительно, выведенное нами ранее основное уравнение (3.1) справедливо для любых не взаимодействующих друг с другом частиц, совершающих хаотические движения. Будут ли это невидимые глазом молекулы или значительно более крупные броуновские частицы, содержащие миллиарды молекул, — безразлично. С молекулярно-кинетической точки зрения броуновскую частицу можно трактовать как гигантскую молекулу. Поэтому выражение для средней кинетической энергии такой частицы должно быть таким же, как и для молекулы. Скорости же броуновских частиц, конечно, несравненно меньше, соответственно их большей массе.

Вернемся теперь к уравнению (7.4) и, учтя (7.5), перепишем его

Это уравнение легко интегрируется. Обозначив получаем:

и после разделения переменных наше уравнение преобразуется в виде:

Интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от 0 до а правую от до получаем:

или

Отсюда

Величина как легко убедиться, в обычных условиях опыта ничтожно мала. Действительно, размеры броуновских частиц не превышают см, вязкость жидкости обычно близка к вязкости воды, т. е. приблизительно равна (в системе единиц плотность вещества частиц порядка единицы, Имея в виду, что масса частицы равна , мы получим, что показатель степени при таков, что величиной можно пренебречь. Следовательно, если отрезок времени между последовательными наблюдениями за броуновской частицей превышает что, конечно, всегда имеет место, то

Для конечных промежутков времени и соответствующих перемещений уравнение (7.6) можно переписать в виде:

отсюда

Среднее значение квадрата смещения броуновской частицы за промежуток времени вдоль оси X, или любой другой оси, пропорционально этому промежутку времени.

Формула (7.7) позволяет вычислять среднее значение квадрата перемещений, причем среднее берется по всем частицам, участвующим в явлении. Но эта формула справедлива и для среднего значения квадрата многих последовательных перемещений одной-единственной частицы за равные промежутки времени, С экспериментальной точки зрения удобнее наблюдать именно перемещения одной частицы. Такие наблюдения и были проведены Перреном в 1909 г.

Движение частиц Перрен наблюдал через микроскоп, окуляр которого был снабжен сеткой взаимно перпендикулярных линий, служивших координатной системой. Пользуясь сеткой, Перрен отмечал на ней последовательные положения одной облюбованной им частицы через определенные промежутки времени (например, 30 с). Соединив затем точки, отмечающие положения частицы на сетке, он получил картину, подобную той, которая изображена на рис, 7. На этом рисунке показаны как смещения частицы, так и их проекции на ось

Следует иметь в виду, что движения частицы значительно сложнее, чем об этом можно судить по рис. 7, так как здесь отмечены положения через не слишком малые промежутки времени (порядка 30 с). Если уменьшить эти промежутки, то окажется, что каждый прямолинейный отрезок на рисунке развернется в такую же сложную зигзагообразнуютраекторию, как и весь рис. 7.

Рис. 7.

Из своих наблюдений Перрен мог измерить смещения и вычислить среднее значение их квадратов. Данные этих измерений находились в хорошем согласии с формулой (7.7); тем самым была подтверждена правильность молекулярно-кинетического объяснения явления броуновского движения и самой молекулярно-кинетической теории.

Формула (7.7) может быть использована для определения постоянной Больцмана если известны значения вязкости жидкости, ее температура и радиус частицы а. Значения этой постоянной, полученные Перреном и другими исследователями из подобных измерений, близки к приведенному выше значению Отметим здесь, что сам Перрен использовал полученные им данные для определения числа Авогадро по формуле так как постоянная может быть определена из уравнения сестояния.

Опыты Перрена имели большое значение для окончательного обоснования молекулярно-кинетической теории.