§ 82. Доказательство теорем Карно

Теперь можно привести более строгое доказательство первой теоремы Карно (см. стр. 263), которую можно сформулировать так: к. п. д. тепловой машины, работающей при данных значениях температур нагревателя и холодильника, не может быть больше, чем к. п. д. машины, работающей по обратимому циклу Карно при тех же значениях температур нагревателя и холодильника.

Пусть имеются две тепловые машины с общими для них нагревателем и холодильником: машина работающая по обратимому циклу Карно, и машина II, отличающаяся от либо необратимостью процессов в ней, либо родом рабочего вещества. Предположим сначала, что к. п. д. машины II больше, чем к. п. д. машины I:

Соединим наши машины (общим валом, ременным соединением и т. п.) так, чтобы одна из них могла приводить в движение другую. Пусть машина II работает по прямому циклу, т. е. получает теплоту от нагревателя, совершает работу и передает холодильнику количество теплоты, равное

При этом она приводит в Движение машину так, что эта машина совершает обратный цикл, т. е. работает как холодильная машина. Следовательно, машина I, за счет совершаемой над ней работы машиной II, переносит теплоту от холодильника к нагревателю. Пусть машина передает в каждом цикле нагревателю количество теплоты т. е. такое же, какое за один цикл поглощает машина II. Необходимая для этого работа пусть будет равна Заимствованное машиной от холодильника тепло равно, значит,

После одного цикла в комбинированной машине мы получим следующий результат.

1) Нагреватель не претерпел никаких изменений, так как машина передала ему столько же тепла, сколько отняла машина II.

2) Рабочее тело в каждой из машин вернулось в, исходное состояние, совершив круговой процесс, т. е. также не претерпело никаких изменений.

3) Холодильник получил от машины II теплоту а машина отняла у него теплоту и так как, по предположению,

Это значит, что единственным результатом всего цикла явилось извлечение из холодильника количества теплоты, равного и превращение его в работу. Но это противоречит принципу Томсона. Следовательно, не может быть больше, чем к. п. д. обратимой машины Карно..

Докажем теперь справедливость второй теоремы Карно (см. стр. 263) о независимости к. . п. д. обратимой машины Карно от рода рабочего тела. Возьмем опять две соединенные вместе тепловые машины и II с общими для них нагревателем и холодильником. На этот раз обе машины работают по обратимому циклу Карно, отличаясь друг от друга только рабочими веществами. Докажем, что к. п. д. обеих машин одинаковы. Будем опять полагать, что машина II совершает прямой цикл, а машина обратный. Предположим сначала, что к. п. д. обеих машин различны. Пусть, например,

Совершая прямой цикл, машина II получает от нагревателя количество теплоты отдает холодильнику теплоту и совершает работу, эквивалентную Машина совершая обратный цикл, забирает у холодильника теплоту и отдает нагревателю теплоту за счет механической работы, эквивалентной Если к. п. д. , то

Разность теплот превращается в работу. Значит, в результате цикла нагреватель не претерпевает никаких изменений, так как он получает от одной машины столько же тепла, сколько отдает другой. Рабочие тела, совершив круговой процесс, также оказываются в исходном состоянии. Значит, единственным результатом цикла явится отнятие тепла (в количестве от холодильника и преобразование его в работу, что противоречит принципу Томсона. Значит, предположение неверно.

Поменяв теперь порядок работы машин, т. е. положив, что прямой цикл совершает машина а обратный — машина II, мы с помощью таких же рассуждений получим, что невозможно и предположение о том, что Остается, следовательно, только одна возможность:

Так как в одной из машин рабочим телом может быть идеальный газ, а для этого случая мы уже показали, что соответственно температуры холодильника и нагревателя, то отсюда следует, что для любой обратимой машины Карно коэффициент полезного действия будет таким же. Для необратимого цикла коэффициент полезного действия

Напомним, что

где количество теплоты, отданное (рабочему телу) нагревателем, количество теплоты, полученное (от рабочего тела) холодильником.

Но если рассматривать наш процесс стойки зрения изменений, происходящих в самом рабочем теле, то это количество теплоты, полученное и соответственно отданное рабочим телом. Этим величинам нужно, очевидно, приписать противоположные знаки.

Будем считать полученное телом количество теплоты положительным; тогда отрицательно.

Следовательно, неравенство (82.1) перепишется в виде:

или

Очевидно [см. (80.11)], что если тело претерпевает обратимый процесс, то

В дальнейшем эти соотношения (82.2) и (82.3) будут обобщены.

Из сказанного выше ясно, что именно нужно делать для того, чтобы достигнуть возможно более высокого коэффициента полезного действия тепловой машины. Во-первых, нужно стремиться к тому, чтобы в машине по возможности не происходили необратимые процессы, чтобы цикл машины был как можно ближе к обратимому.

Во-вторых, нужно по возможности повысить температуру нагревателя и понизить температуру холодильника [см. формулу (80.12), стр. 263].

Что касается выбора рабочего тела, то он диктуется соображениями технической и экономической целесообразности. То обстоятельство, что в современных тепловых машинах используется главным образом водяной пар, обусловлено доступностью воды и простотой обращения с ней.

Прогресс в технике паросиловых установок достигается повышением температуры нагревателя (холодильником обычно является окружающий воздух). Однако с паросиловыми установками успешно конкурируют двигатели внутреннего сгорания, где рабочим телом служит смесь воздуха с соответствующим горючим. Достигаемые в этом случае температуры значительно выше, а потому и к. п. д. таких машин выше. К тому же в этих двигателях устранен необратимый процесс передачи тепла от топки, что тоже повышает коэффициент полезного действия.

Необходимо, однако, иметь в виду, что обратимый процесс является процессом идеальным и на практике полная обратимость не может быть обеспечена. Поэтому то значение коэффициента полезного действия тепловой машины, которое дается формулой (80.12), фактически является недостижимым верхним пределом, к которому, однако, можно подойти принципиально сколь угодно близко.