§ 30. Адиабатное изменение объема идеального газа

При адиабатном процессе газ не отдает окружающим телам теплоту, так же как и не получает ее извне Закон сохранения энергии принимает в этом случае вид:

Это значит, что работа, связанная с изменением объема газа, должна сопровождаться изменением внутренней энергии, а значит, и температуры. Знак минус в выражении (30.1) означает, что увеличение объема газа (расширение) сопровождается понижением его температуры, а сжатие — повышением температуры. В первом случае работа совершается газом за счет его собственной внутренней энергии, поэтому его температура и понижается. Во втором случае работа совершается внешней силой и за счет этой работы растет внутренняя энергия, а значит, и температура газа.

Рис. 37.

Легко представить себе «кинетическую» картину этого изменения температуры. Представим себе сосуд с газом в виде цилиндра с поршнем (рис. 37). Пусть поршень поднимается вверх со скоростью и (газ расширяется). Рассмотрим некоторую молекулу, движущуюся со скоростью в том же направлении, что и поршень. Если скорость

этой «догоняющей» поршень молекулы относительно стенок сосуда равна то относительно поршня ее скорость равна После того как наша молекула «догонит» поршень и произойдет упругий удар, ее скорость относительно поршня должна остаться по-прежнему хотя теперь она уже движется не вслед за поршнем, а от него. Это значит, что скорость ее относительно стенок сосуда должна быть меньше, чем прежняя, на величину Таким образом, все молекулы, сталкивающиеся с движущимся поршнем, отражаются от него с меньшей, чем до удара, скоростью. Это и приводит к уменьшению средней скорости молекул, а значит, и к понижению температуры.

Таким же образом при обратном движении поршня должно произойти повышение температуры.

Уравнение Пуассона. Прежде чем вычислить работу адиабатного изменения объема газа, необходимо найти соотношение между объемом газа и его давлением, так как при адиабатном процессе оно уже не будет определяться законом Бойля-Мариотта. Для этого следует из уравнения

исключить Это можно сделать, воспользовавшись уравнением состояния

дифференцирование которого дает:

Подставив это значение в (30.2), получаем:

или после замены равным ему значением имеем:

Обозначим отношение теплоемкостей тогда последнее уравнение принимает вид:

В предположении, что у постоянно, можно написать:

После интегрирования получаем: или

Это и есть искомое соотношение между давлением и объемом идеального газа при адиабатном процессе изменения объема.

Уравнение (30.4) называется уравнением Пуассона или уравнением адиабаты, - а величина показателем адиабаты.

При интегрировании (30.3) мы приняли величину у постоянной. Строго говоря, это не совсем точно. Теплоемкость а следовательно, могут меняться с изменением объема, давления и температуры. Поэтому уравнение Пуассона (30.4) строго справедливо для ограниченного интервала значений давлений и объемов. Дифференциальное же уравнение (30.3) является точным.

Из уравнения Пуассона видно, что, в отличие от изотермического процесса, при адиабатном изменении объема газа его давление меняется обратно пропорционально не первой степени объема, причем у больше единицы, так как Понятно, что график зависимости давления от объема теперь уже не будет гиперболой.

Рис. 38.

Так как то кривая при адиабатном процессе, называемая адиабатой, круче изотермы, как это видно из рис. 38, на котором изображена адиабата и, для сравнения, изотерма идеального газа. Более крутое падение давления с увеличением объема при адиабатном процессе объясняется тем, что при адиабатном расширении идеального газа его давление уменьшается не только за счет увеличения объема, но и вследствие происходящего при этом понижения температуры газа.

Нетрудно найти соотношения между другими параметрами газа при адиабатном процессе.

Так, например, исключив из уравнения (30.4) и уравнения состояния давление получим соотношение между температурой и объемом газа при его адиабатном изменении. Подставив в уравнение (30.4) значение получаем:

или

(поскольку постоянная).

Точно так же, подставив в уравнение (30.4) значение V из уравнения состояния, получим соотношение между давлением и температурой при адиабатном процессе:

и

Возведя обе части равенства (30.6) в степень получаем:

Ясно, что к формулам (30.5) и (30.7) также относится замечание, сделанное о пределах применимости уравнения Пуассона.