§ 46. Нестационарная теплопроводность

Рассмотрим снова два сосуда 1 и 11 (см. рис. 50), объемы которых соответственно равны но наполненные теперь однородным по составу газом при одинаковом в обоих сосудах давлении. Оба сосуда соединены трубкой длиной I с площадью поперечного сечения Пусть в некоторый момент времени температуры газа в наших сосудах равны и и для определенности примем, что

Если предоставить газ самому себе, то вследствие теплопроводности температуры газа в обоих сосудах будут выравниваться, т. е. разность температур

будет убывать с течением времени. Этот процесс можно было бы назвать «диффузией температуры». Здесь, впрочем, имеет место и диффузия в обычном смысле этого слова. Ведь если температура газа в одном из сосудов выше, чем в другом, то это значит, что

в том сосуде, где температура выше, имеется больше быстрых молекул, чем в другом, так как температура определяется средней кинетической энергией молекул, а она тем больше, чем больше молекул с большими скоростями. В процессе теплопроводности происходит, конечно, диффузия этих более быстрых частиц, и она играет важную роль в механизме теплопроводности.

Найдем теперь закон убывания разности температур со временем. Согласно (45.1) поток тепла через трубку определяется уравнением

Для простоты рассуждений предположим, что температура вдоль соединительной трубки изменяется равномерно, так что на любую единицу длины приходится одна и та же разность температур. Тогда нет необходимости пользоваться бесконечно малыми величинами и можно написать:

За бесконечно малый промежуток времени из сосуда в сосуд 11 через трубку перейдет количество тепла, равное

Вследствие этого температура газа в сосуде уменьшится на некоторую величину а в сосуде 11 повысится на величину На сколько именно повысится температура в сосуде 11 и уменьшится в сосуде зависит от теплоемкости газа С, равной произведению удельной теплоемкости газа на его массу Из известных уже нам соотношений между количеством тепла и изменением температуры ясно, что

где и массы газа в сосудах I и 11 соответственно; абсолютные значения изменений температуры. Если плотность газа в сосудах равна , то:

и, следовательно, 4

Уменьшение температуры в сосуде на и увеличение на температуры в сосуде II приводит к уменьшению разности температур между ними на величину

Подставив сюда значение из (46.1), получим:

Обозначим по-прежнему приведенный объем через

Тогда

Интегрируя это уравнение, получаем:

где А — постоянная интегрирования. Она может быть легко определена из тех соображений, что разность температур в начальный момент, т. е. при равна Подставив в получим, что следовательно,

Уравнение (46.3) выражает интересующий нас закон выравнивания температуры со временем посредством теплопроводности. Этот закон вполне аналогичен закону выравнивания концентрации посредством диффузии (41.5). В обоих случаях выравнивание происходит по экспоненциальному закону. Если сравнить с (41.5)

то видно, что экспоненциальные множители в правой части обоих уравнений совпадают, если положить

Это значит, что выражение представляет собою коэффициент «диффузиитемпературы». Величиной зависящей от свойств газа, характеризуется скорость выравнивания температуры. Эта величина получила поэтому название коэффициента температуропроводности газа (или любого другого тела).

Множитель является чисто геометрическим и характеризует только аппаратуру.

Нетрудно убедиться в том, что коэффициент температуропроводности, так же как и коэффициент диффузии, выражается в

Так же как и при рассмотрении диффузии, введем постоянную времени теплопроводности

Это промежуток времени, в течение которого разность температур между двумя объемами в результате теплопроводности газа уменьшается в раз.