§ 120. Кристаллическая решетка

В кристаллах атомы или другие частицы, образующие кристаллы (ионы, молекулы), располагаются, как мы уже говорили, в правильном порядке. Одним из важных следствий такого порядка в расположении атомов является неодинаковость свойств кристалла в различных направлениях, или, кактакую неодинаковость обычно называют, анизотропия.

Рис. 154.

При правильном расположении атомов они вдоль различных направлений неизбежно размещаются с различной плотностью. Это ясно видно на рис. 154, на котором изображена одна из возможных схем расположения атомов в кристалле (об обозначениях, примененных на этой схеме, будет сказано ниже; см. стр. 411). Нужно только представить себе, что таким же образом атомы расположены и вне плоскости чертежа, образуя пространственную решетку, в узлах которой находятся атомы. Если провести через узлы решетки плоскости в разных направлениях (на нашем рисунке — прямые линии), то видно, что густота расположения атомов на этих

плоскостях различна. В кристалле, следовательно, существуют плоскости, различным образом «населенные» атомами. Этим, главным образом, и объясняется анизотропия кристаллов — наиболее характерное их свойство.

Анизотропия проявляется, например, в том, что когда кристалл образуется в таких условиях, что никакие внешние воздействия не влияют на его рост, то он принимает определенную форму с характерным для данного кристалла огранением. Кристалл оказывается ограниченным плоскими гранями, образующими между собой углы, тоже свойственные только данному виду кристаллов. Грани эти как раз и представляют собой те плоскости, в которых частицы размещены с наибольшей плотностью, так как при росте кристалла именно к этим плоскостям, а не к другим, преимущественно присоединяются новые атомы. Разумеется, в наиболее плотно заполненных атомами плоскостях атомы сильнее всего связаны друг с другом, так как здесь взаимные расстояния между ними относительно меньше.

С другой стороны, из рис. 154 видно, что плотно заполненные плоскости отстоят друг от друга относительно дальше, чем менее густо «заселенные» плоскости. Значит, атомы в плотно заполненных плоскостях прочно связаны друг с другом, но сила взаимодействия между такими плоскостями невелика, и они сравнительно легко отделяются одна от другой. Из-за этого при механическом разрушении кристалла всегда можно наблюдать, что он раскалывается по некоторым определенным плоскостям, так называемым плоскостям спайности. Кристалл каменной соли, например, раскалывается на куски, имеющие форму прямоугольных параллелепипедов. Осколки кристалла исландского шпата имеют форму параллелепипедов, но не прямоугольных; слюда и графит расщепляются на тонкие пластинки, и т. д.

Можно думать, что плоскости излома кристаллов (плоскости спайности) — это как раз те плоскости, которые содержат наибольшее число атомов. Существование плоскостей спайности — одна из характерных особенностей кристаллов. В тех случаях, когда по условиям роста кристалла на нем не могут образоваться правильные грани и форма его поэтому произвольна, в нем сохраняются все другие особенности кристалла и, в частности, спайность.

Геометрия кристаллической решетки. Характерной особенностью кристалла, как уже указывалось, является геометрически правильное расположение составляющих его частиц (атомов, молекул, ионов). Кристалл, следовательно, имеет прерывную периодическую структуру. С геометрической точки зрения такое периодически повторяющееся расположение частиц можно осуществить с помощью операции параллельного перемещения, которое называвается трансляцией.

Представим себе, что мы перемещаем некоторую точку (рис. 155) (пусть это будет, например, центр тяжести частицы) вдоль прямой на расстояние а в положение затем на такое же расстояние в положение . С помощью трансляции а мы получаем, таким образом, ряд точек, или одномерную цепочку точек. Трансляция а может быть представлена вектором, имеющим определенное направление и численное значение, равное а, называемое периодом трансляции.

Рис. 155.

Понятно, что при помощи вектора трансляции а можно представить бесчисленное множество параллельных перемещений — в общем случае та трансляций, из которых а — наименьшая.

Если подвергнуть точку действию одновременно двух операций трансляции то в результате получится не ряд точек, а плоская сетка (рис. 156). Положение любой точки на этой сетке определяется векторной суммой

где тип — целые числа (включая нуль).

Рис. 156.

Если, наконец, точка подвергается одновременно трем различным трансляциям то получится так называемая пространственная решетка. Положение любой точки определяется в этом случае соответствующей комбинацией перемещений

Комбинация трех векторов с называется трансляционной группой. Параллелепипед, образованный векторами называется элементарной ячейкой (рис. 157).

В каждой плоскости, проходящей через любые три точки пространственной решетки, точки (частицы) расположены в правильном порядке, образуя плоскую сетку. Они и представляют собой кристаллические плоскости, упоминавшиеся ранее. Некоторые из них (наиболее густо «населенные») являются плоскостями спайности.

Векторы трансляции и с — это межатомные расстояния в кристаллической решетке. Их численные значения обычно порядка .

Симметрия кристаллов. Элементы симметрии. Благодаря правильной, периодически повторяющейся картине расположения атомов в кристалле последний обладает определенной симметрией.

Понятйе симметрии вполне привычно в обыденной жизни. Всем привычно, что челбвеческое тело симметрично, что шар симметричен и т. п. Чем же характеризуется симметрия тела? В чем, например, заключается симметрия человеческого тела?

Рис. 157.

Обычный ответ, что симметрия нашего тела определяется тем, что оно состоит из двух одинаковых частей — правой и левой, не может считаться точным. Например, правая и левая руки вовсе не одинаковы, нельзя надеть правую перчатку на левую руку и наоборот. Одинаковыми обе руки станут, если одну из них отразить в плоском зеркале. Зеркальное изображение левой перчатки можно было бы надеть на правую руку! Если мысленно провести плоскость вдоль нашего тела через его середину и представить себе эту плоскость зеркально отражающей с обеих сторон, то любая точка одной половины (внешней) тела при ее отражении от этой плоскости совместится с такой же точкой другой половины тела. Это мысленное зеркало называется плоскостью симметрии тела. Симметрия человеческого тела заключается в том, что если произвести операцию отражения одной половины тела от плоскости симметрии, то она совмещается с другой половиной; принято говорить, что элементом симметрии человеческого тела является плоскость симметрии.

Рис. 158.

Симметричной является и фигура, изображенная на рис. 158. Симметрия ее заключается в том, что она совмещается сама с собою при повороте ее около оси, проходящей через ее центр перпендикулярно к плоскости чертежа на угол 60°. Эта ось называется осью симметрии фигуры и является ее элементом симметрии.

Вообще говоря, свойство симметрии кристалла (или любой фигуры) заключается в том, что в результате некоторых

мысленных операций система частиц кристалла (или вообще любая система точек) совмещается сама с собой, переходит в положение, не отличимое от исходного.

Удобно представить ту или иную симметрию кристалла как совокупность отдельных элементов симметрии, каждому из которых соответствует какая-нибудь из только что упомянутых операций. Для кристалла как целого таких элементов симметрии имеется четыре. Они носят следующие названия: ось симметрии, плоскость симметрии, центр симметрии и зеркально-поворотная ось симметрии.

Ось симметрии. Если кристалл обладает осью (или, как ее иногда называют, поворотной осью) симметрии, то он может быть совмещен сам с собой, т. е. приведен в состояние, не отличимое от исходного, путем поворота на некоторый угол около этой оси.

В зависимости от симметрии кристалла величина угла поворота, необходимого для совмещения кристалла с самим собой, может составлять 360, 180, 120, 90 и 60 градусов (т. е. где или 6). В соответствии с этим ось симметрии называется осью первого, второго, третьего, четвертого или шестого порядка. Из чисто геометрических соображений можно показать, что поворот около оси на любой другой угол не может привести кристалл к совмещению, не может поэтому быть оси пятого порядка, соответствующей повороту на угол или оси более высокого порядка, чем шестой. Это связано с тем, что при повороте системы для совмещения ее с самой собой необходимо, чтобы все пространство было заполнено без оставления пустых промежутков. Между тем известно, можно сплошь заполнить плоскость треугольниками, параллелограммами, шестиугольниками, но нельзя этого сделать пятиугольниками, семиугольниками, восьмиугольниками и т. д.

Рис. 159

На рис. 159 представлены все возможные оси симметрии; цифрами указан порядок симметрии.

Фигура, изображенная на рис. 158, обладает, очевидно, осью симметрии шестого порядка. Поворот фигуры на угол вокруг оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоскости чертежа, приводит ее в положение, совпадающее с исходным.

Плоскость симметрии. Если одна половина кристалла совмещается с другой при отражении в некоторой плоскости, как в зеркале,

то такая плоскость является элементом симметрии кристалла и называется плоскостью симметрии. Для фигуры, изображенной на рис. 160, такими элементами симметрии являются, например, плоскости 1—1 и 2—2: части фигуры по обе стороны плоскости являются зеркальным отражением друг друга.

Но плоскость 3—3, также делящая эту фигуру пополам, плоскостью симметрии не является, так как отражение в этой плоскости не совмещает одну половину с другой.

Рис. 160.

Центр симметрии. Если в кристалле существует точка, обладающая тем свойством, что при замене радиуса-вектора любой из частиц, составляющих кристалл, проведенного из этой точки, на обратный ему вектор кристалл переходит в состояние, не отличимое от исходного, то эта точка, называемая центром симметрии (или центром инверсии), является элементом симметрии кристалла.

Поворотно-зеркальная ось. К этому элементу симметрии приводит одновременное применение двух операций: поворота вокруг и зеркального отражения в плоскости, перпендикулярной, к оси. Это значит, что кристалл обладает поворотно-зеркальной осью симметрии, если его можно совместить с самим собой, повернув его на некоторый угол вокруг оси (рис. 161) и отразив затем в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Если угол поворота равен то определяет порядок поворотно-зеркальной оси.

Симметрия любого кристалла может быть описана с помощью перечисленных четырех элементов симметрии.

Рис. 161.

Классы симметрии. Перечисленные элементы симметрии в различных кристаллах могут по-разному комбинироваться. Другими словами, различные кристаллы могут обладать несколькими элементами симметрии. Очевидно, что чем большим числом элементов симметрии располагает данное тело, тем оно симметричнее. Шар, обладающий бесконечным числом осей симметрии, плоскостей симметрии и центром симметрии, является наиболее симметричной фигурой.

Подробное рассмотрение показывает (это сделал А. В. Гадолин в 1867 г.), что существуют всего 32 возможные комбинацииэлементов симметрии. Каждая из таких возможных комбинаций элементов симметрии называется классом симметрии.

В природе могут существовать только кристаллы, относящиеся к одному из 32-х классов симметрии, что было подтверждено опытом. Так, например, кристаллы, обладающие одной осью

симметрик, образуют пять классов симметрии (из 32-х), соответствующих пяти порядкам этих осей, включая и ось первого порядка, когда симметрии вовсе нет. Четыре класса образуют кристаллы, обладающие кроме указанной оси симметрии еще и перпендикулярными к ней осями второго порядка.

Отдельный класс симметрии образуют кристаллы, обладающие только центром симметрии, и т. д.

В кристаллографии принято объединять указанные 32 класса симметрии в 7 систем симметрии (или сингоний), которые носят следующие названия в порядке возрастания симметрии:

триклинная система, объединяющая два класса симметрии; моноклинная система, куда входят три класса;

ромбическая система, также с тремя классами симметрии; тригональная система, объединяет семь классов; гексагональная система — пять;

тетрагональная система с семью классами;

кубическая система, наиболее симметричная, объединяет пять классов.

Решетка Браве. Рассмотренные в предыдущем параграфе элементы симметрии и классификация их относились к кристаллическим телам. Эти элементы симметрии характеризуют симметрию кристаллического тела как целого; это так называемая макроскопическая симметрия.

Вернемся снова к строению кристаллической решетки. Выше было установлено, что решетка может быть совмещена сама с собою (т. е. приведена в положение, не отличимое от исходного) путем трансляции, т. е. параллельного переноса на определенные расстояния в определенных направлениях. Для кристаллической решетки трансляция является основным элементом симметрии.

Всякая кристаллическая решетка, как было указано, может быть представлена в виде правильно уложенных параллелепипедов — элементарных ячеек. Все элементарные ячейки, составляющие рещетку, очевидно, одинаковы по форме и по объему и в каждой из них находится одинаковое число атомов. Во всех вершинах элементарных ячеек находятся одинаковые атомы или группы атомов; все эти вершины поэтому эквивалентны друг другу и являются узлами решетки.

Каждый из этих узлов, т. е. вершин элементарных ячеек, может быть совмещен с любым другим путем параллельного переноса на один из периодов решетки. Однако эти узлы не являются единственными в решетке. В решетке могут быть точки, которые совмещаются друг с другом при помощи элементов симметрии, присущих кристаллу как целому, т. е. путем поворотов и отражений.

Другими словами, в кристаллической решетке параллельные переносы могут комбинироваться с макроскопическими элементами

симметрии. Если, например, кристалл обладает какой-либо осью симметрии или плоскостьюсимметрии, "то путем параллельного переноса (трансляции) их на период решетки возникает бесконечное множество таких параллельных между собой осей и соответственно плоскостей симметрии.

Кроме того, сочетание трансляции и поворота около оси, совпадающей с направлением этой трансляции, приводит к новому элементу симметрии, который называется винтовой осью.

Аналогично, если точка решетки может быть совмещена с другой путем сочетания трансляции этой точки и отражения ее от плоскости, параллельной направлению трансляции, то возникает соответствующий элемент симметрии, называемый плоскостью зеркального скольжения. Совокупность эквивалентных узлов решетки, которые могут быть совмещены друг с другом только путем параллельного переноса (трансляции), образует так называемую трансляционную решетку, или решетку Браве кристалла.

Решетка Браве, следовательно, представляет собой параллелепипед, построенный путем параллельного переноса какого-нибудь из узлов решетки по трем направлениям. В качестве таких направлений (координатных осей) выбирают направления, параллельные осям симметрии кристалла или перпендикулярные к его плоскостям симметрии. В кристаллографии эти направления выбирают обычно в качестве кристаллографических осей. В таким образом построенных параллелепипедах эквивалентные узлы (атомы) могут располагаться не только в вершинах, но и в центре граней, и в центре диагональной плоскости.

В первом случае решетка Браве называется гранецентрированной, во втором — объемноцентрированной.

Соотношение длин ребер с решетки Браве и углы между ними могут быть различными. При этом возникает вопрос: сколько различных типов решеток Браве могут существовать?

Можно показать, что всего существует 14 различных типов решеток Браве. Так как в качестве координатных осей, на которых строятся эти элементарные параллелепипеды, выбраны кристаллографические оси кристалла, то каждая из решеток Браве может быть отнесена к одной из семи кристаллических систем, указанных выше. На рис. 162 представлены все 14 элементарных параллелепипедов решеток Браве в порядке возрастания их симметрии. На первом месте поставлена наименее симметричная триклинная решетка 1, в которой узлы расположены в вершинах параллелепипеда с произвольными длинами ребер с и углами между ними . Далее следуют: простая моноклинная 2, транецентрированная моноклинная 3, простая ромбическая 4, ромбическая с центрированными основаниями 5, ромбическая объемно-центрированная 6, ромбическая гранецентрированная 7.

В гексагональной решетке 8 узлы расположены в вершинах правильных шестигранных призм и в центрах их шестиугольных оснований. Далее следуют: ромбоэдрическая решетка Браве 9, элементарный параллелепипед которой представляет собой куб, растянутый или сжатый вдоль пространственной диагонали (ромбоэдр); Тетрагональная простая 10, тетрагональная объемноцентрированная 11.

Рис. 162. (см. скан)

К системе, обладающей максимальной симметрией — кубической, относятся три типа решеток Браве: простая кубическая 12, объемноцентрированная 13 и гранецентрированная 14.

Решетка Браве, как было указано, строится для вполне определенного узла кристаллической решетки путем параллельного переноса его по трем кристаллографическим осям. Если выбрать в качестве исходного другой какой-нибудь узел (атом), мы получим другую решетку Браве. Отсюда следует, что могут быть кристаллические решетки, представляющие собой систему нескольких решеток Браве, смещенных относительно друг друга. Так, например,

кристаллическая решетка поваренной соли состоит из двух решеток Браве (рис. 163) соответственно тому, что ионы Na (черные кружки) и ионы (белые кружки) каждый по отдельности образуют кубическую гранецентрированную решетку Браве. Обе эти решетки смещены относительно друг друга на половину ребра куба.

Рис. 163.

Пространственные группы. Полная симметрия кристаллической решетки, т. е. симметрия расположения составляющих ее атомов, определяется, как было указано в предыдущем пункте, сочетанием трансляционной симметрии и элементов симметрии, связанных с поворотами и отражениями. Это сочетание приводит к элементам симметрии: винтовым осям и плоскостям зеркального скольжения. Совокупность всех элементов симметрии, которой обдадает данная кристаллическая решетка, называется пространственной группой этой решетки.

Для определения пространственной группы кристаллической решетки нужно, очевидно, указать ее решетку Браве и те ее элементы симметрии, которые связаны с поворотами и отражениями, т. е. расположение плоскостей и осей симметрии. Любая пространственная группа может быть отнесена к одному из 32 кристаллических классов.

Как показывает детальное рассмотрение, всего возможны 230 различных пространственных групп, которые и распределяются по указанным кристаллическим классам. Эти 230 пространственных групп были впервые найдены знаменитым кристаллографом Е. С. Федоровым.

Символические обозначения плоскостей и направлений в кристалле. Анизотропия кристалла делает необходимым выделять и определенным образом обозначать различные плоскости (грани) и направления (например, ребра) в кристалле. Для этого пользуются специальной системой координат, связанной с кристаллом так, что координатные оси обычно проводятся параллельно осям симметрии или перпендикулярно к плоскостям симметрии, а начало координат совпадает с одним из узлов решетки. Координаты в такой системе измеряются в единицах, равных межатомным расстояниям в данном направлении (эти расстояния называются постоянными решетки или параметрами решетки). Положение какой-либо плоскости однозначно определяется координатами любых трех точек этой плоскости, например тех, в которых она пересекается тремя осями координат.

Пусть оси I, II и III являются координатными осями и нужно определить плоскость (рис. 164). Если, например, плоскость пересекает ось в точке на расстоянии в 4 единицы (т. е. в четыре межатомных расстояния в направлении оси I), ось II на расстоянии

в 1 единицу и ось III на расстоянии в две единицы, то положение плоскости задается тройкой чисел: 4, 1 и 2.

Однако принято пользоваться для обозначения плоскостей в кристалле не этими числами, а особыми индексами Миллера, которые определяются так: находим координаты трех точек пересечения плоскости с координатными осями (в единицах постоянных решетки). Обратные значения полученных чисел приводим к одному знаменателю и знаменатель отбрасываем. Числители дробей и дают индексы Миллера.

Так, например, для только что рассмотренной плоскости, пересекающей оси координат в точках 4, 1 и 2, обратные величины координат будут соответственно 1/4, 1 и 1/2, общий знаменатель этих дробейравен 4 и индексы Миллера окажутся, таким образом, равными 1, 4 и 2. (Эти числа заключаются в круглые скобки, так что интересующая нас плоскость символически обозначается (142) (читается не «сто сорок два», а «один, четыре, два»).

Данный набор индексов определяет, очевидно, не одну плоскость, а все семейство параллельных плоскостей. Буквами индексы Миллера обозначаются через Если плоскость параллельна одной из осей координат, т. е. пересекает ее в бесконечности, то соответствующий индекс равен нулю.

Рис. 164.

Рис. 165.

На рис. 165 указаны индексы некоторых наиболее важных плоскостей кубического кристалла.

Направления в кристалле также задаются индексами, которые определяются следующим образом: вдоль определяемого направления выбирают некоторый вектор произвольной длины и определяют величины составляющих этого вектора по осям координат в единицах постоянной решетки. Тогда индексами этого направления будут три наименьших целых числа, отношения которых между собой равны отношениям составляющих вектора.

Например, если компоненты вектора равны соответственно 6, 4 и 8 единицам, то индексами соответствующего этому вектору направления будут 3, 2 и 41 Эти числа заключаются в квадратные скобки — [324]. Буквами индексы направлений обозначаются через и .

Направление, определяемое данным набором индексов иногда (а для кубического кристалла всегда) оказывается перпендикулярным к плоскости с таким же набором индексов