§ 41. Нестационарная диффузия

Рассмотрим процесс нестационарной диффузии, процесс выравнивания концентраций, в следующем простейшем случае, который трудно в полной мере практически осуществить, но который дает ясное представление о механизме процесса.

Рис. 50,

Пусть два сосуда с объемами и соединены между собой трубкой длиной I с площадью сечения 5 (рис. 50) и наполнены смесью газов разного состава при одинаковых, однако, давлениях и температурах. Пусть концентрации интересующего нас компонента в обоих сосудах равны соответственно причем

Вследствие диффузии концентрации в обоих сосудах будут выравниваться, т. е. будет убывать со временем разность концентраций

Определим, по какому закону происходит это убывание. Из закона

Фика следует, что диффузионный поток

Для простоты рассуждений положим, что концентрация рассматриваемого компонента мала. Тогда можно положить, что

и уравнение (40.3) принимает вид:

В процессе диффузии молекулы диффундирующего компонента будут переходить из сосуда I в сосуд II. За бесконечно малый промежуток времени число молекул, продиффундировавших в сосуд II, равно:

(напомним, что по абсолютному значению диффузионный поток, в данном случае это число молекул, проходящих в единицу времени через площадку, имеющую площадь, равную единице). Из-за этого перехода молекул их плотность в сосуде I уменьшилась на некоторую величину а в сосуде II увеличилась на величину Очевидно, что

Поэтому концентрации молекул в сосудах по прошествии времени станут другими:

Следовательно, спустя время разность концентраций станет равной

Подставив сюда значение из (41.1) и полагая , получим:

Отсюда следует, что изменение разности концентраций за время равно

Величина называется приведенным объемом приведенный объем Следовательно,

или

После интегрирования (41.2) имеем:

где А — постоянная интегрирования. Отсюда

Постоянную А легко найти, если известна начальная разность концентраций т. е. разность концентраций в момент времени В самом деле, подставив в получим:

тогда

Это равенство и дает ответ на поставленный вопрос о законе убывания разности концентраций со временем. Мы видим, что разность концентраций со временем убывает по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше значение величины

которая для данного опыта является постоянной величиной. Заметим, что величина, обратная этой постоянной,

имеет размерность времени. Физический смысл ее легко понять из уравнения (41.5), из которого следует, что при разность концентраций становится равной т. е. уменьшается в раз по сравнению с начальной. Таким образом, смысл постоянной состоит в том, что она равна тому промежутку времени, которое требуется для того, чтобы концентрация диффундирующего компонента уменьшилась в раз. Величину обычно называют постоянной времени процесса.

Уравнение (41.5) можно теперь переписать в виде:

С такого рода уравнениями, содержащими в той или иной форме постоянную времени, в физике часто приходится иметь дело, когда рассматривается процесс выравнивания каких-либо параметров в системе, предоставленной самой себе. В этом смысле любой подобный процесс можно считать своеобразной диффузией. Ясно, что чем меньше постоянная времени, тем быстрее происходит процесс выравнивания.

Диффузия в газах при атмосферном давлении, вообще говоря, — процесс медленный. Чтобы получить количественное представление о том, как медленно происходит выравнивание концентраций, проведем численный расчет рассмотренного нами схематического опыта.

Пусть сосуды, представленные на рис. 50, имеют равные объемы, и пусть сосуд I наполнен смесью азота и кислорода, а в сосуде II находится чистый азот. Если длина соединительной трубки и площадь ее сечения то, взяв из таблицы 7 (стр. 155) значение коэффициента диффузии кислорода в азоте, равное (при атмосферном давлении), мы найдем, что постоянная времени для нашего опыта равна

Это значит, что примерно за 5 часов разность концентраций уменьшится едва в три раза.