§ 140. Теплопроводность

Если в твердом теле существует разность температур между различными его частями, то подобно тому, как это происходит в газах и жидкостях, тепло переносится от более нагретой к менее нагретой части.

В отличие от жидкостей и газов, в твердом теле не может возникнуть конвекция, т. е. перемещения массы вещества вместе с теплом. Поэтому перенос тепла в твердом теле осуществляется только теплопроводностью.

Механизм переноса тепла в твердом теле вытекает из характера тепловых движений в нем. Твердое тело представляет собой

совокупность атомов, совершающих колебания. Но колебания эти не независимы друг от друга. Колебания могут передаваться скоростью звука) от одних атомов к другим. При этом образуется волна, которая и переносит энергию колебаний. Таким распространением колебаний и осуществляется перенос тепла.

Количественно перенос тепла в твердом теле описывается так же, как и в газе. Если через единицу площади сечения перпендикулярно к его плоскости в единицу времени переносится количество тепла то оно связано с разностью температур, вызывающей перенос, соотношением [см. (45.1)]

где градиент температуры в направлении Величина называется потоком тепла. Величина коэффициента теплопроводности х не может быть вычислена так, как это делается для газа — системы более простой, состоящей из невзаимодействующих частиц.

Приближенно коэффициент теплопроводности твердого тела можно вычислить с помощью квантовых представлений.

Фононы. Квантовая теория позволяет сопоставить распространяющимся в твердом теле со скоростью звука колебаниям некоторые фиктивные частицы — фононы. Каждая частица характеризуется энергией, равной известной уже нам постоянной Планка, умноженной на ту величину, которая в классической физике называется частотой колебания Энергия фонона равна, значит,

Если пользоваться представлением о фононах, то можно сказать, что тепловые движения в твердом теле обусловлены именно ими, так что при абсолютном нуле фононы отсутствуют, а с повышением температуры их число возрастает, но не линейно, а по более сложному закону (при низких температурах пропорционально кубу температуры).

Твердое тело мы можем теперь рассматривать как сосуд, содержащий газ из фононов, газ, который при не очень высоких температурах может считаться идеальным газом. Как и в случае обычного газа, перенос тепла в фононном газе осуществляется столкновениями фононов с атомами решетки, и все рассуждения, которые были проведены при вычислении коэффициента теплопроводности идеальных газов (см. гл. III), справедливы и здесь. Поэтому коэффициент теплопроводности твердого тела может быть выражен совершенно такой же формулой [см. (47.3)]:

где плотность тела, его удельная теплоемкость, а с — скорость звука в нем.

Несколько сложнее вычислить длину свободного пробега фононов К. Оценка показывает, что эта величина обратно пропорциональна абсолютной температуре. Поэтому и коэффициент теплопроводности х обратно пропорционален температуре:

где а — некоторая константа, различная для различных веществ.

В металлах, помимо колебаний решетки, в переносе тепла участвуют и заряженные частицы — электроны, которые вместе с тем являются и носителями электрического тока в металле. При высоких температурах электронная часть теплопроводности много больше решеточной. Этим объясняется высокая теплопроводность металлов по сравнению с неметаллами, в которых фононы — единственные переносчики тепла.

Так, коэффициент теплопроводности алюминия равен в то время как у кварца он не превышает 5. Напомним, что коэффициент теплопроводности газов при нормальных условиях При более низких (но не самых низких) температурах начинает преобладать решеточная теплопроводность, так как она растет с понижением температуры, а электронная от температуры не зависит. При самых низких температурах электронная часть теплопроводности вновь начинает преобладать.

Однако в сверхпроводниках, в которых электрический ток не встречает сопротивления, электронная теплопроводность практически отсутствует: электроны, без сопротивления переносящие электрический ток, в переносе тепла не участвуют, и теплопередача в сверхпроводниках — чисто решеточная.

Измерение теплопроводности. Из уравнения теплопроводности

видно, что для определения коэффициента теплопроводности нужно измерить количество тепла протекающего через единицу площади сечения тела в единицу времени, и градиент температуры вдоль тела.

При такого рода измерениях встречаются те же трудности, что и при измерении теплоемкости. Ведь и в том и в другом случае нужно измерять количество теплоты и изменение температуры. В обоих случаях подводимое количество теплоты может теряться и таким образом не участвовать в изучаемом процессе. Поэтому при измерении теплопроводности, так же как и теплоемкости, главное внимание нужно обращать на устранение погрешности, возникающей из-за того, что не все тепло передается через исследуемое тело путем теплопроводности, а частично может передаваться окружающей среде через боковые поверхности,

На рис. 196 представлена простейшая схема измерения теплопроводности твердого тела.

Исследуемое вещество в виде стержня нагревается с одного конца каким-нибудь источником тепла - (электрическим нагревателем, парами кипящей жидкости), а с другой стороны поддерживается при постоянной температуре (например, проточной водой).

В двух точках стержня в специальных углублениях помещаются термометры или термопары.

Рис. 196.

Стержень на всей его длине окружается изолирующей оболочкой для уменьшения отдачи тепла через боковые поверхности. Для этой же цели рекомендуется поверхность стержня полировать.

Через некоторое время после включения нагревателя устанавливается стационарное состояние, при котором градиёнт температуры становится одинаковым по всей длине стержня. Поэтому он может быть определен как где температуры в точках расстояние между этими точками. Коэффициент теплопроводности определяется из равенства

Мощность нагревателя легко определяется из измерений силы тока и разности потенциалов.

Приведем еще один пример установки для измерения коэффициента теплопроводности, используемой для исследования веществ, плохо проводящих тепло. В этом случае исследуемому образцу удобно придать форму пластины или диска. Схема опыта представлена на рис. 197. Пластина А исследуемого вещества помещается на массивной охлаждаемой пластине В. Над образцом располагается пластина-нагреватель обогреваемая электрическим током.

Рис. 197.

Чтобы устранить влияние краев образца, он окружается кольцом из того же материала А. Защитным кольцом окружается и нагреватель. Наконец, над нагревателем помещается еще один нагреватель температура которого поддерживается такой, чтобы верхняя и нижняя поверхности основного нагревателя

имели одинаковую температуру. Это значит, что тепло, идущее от вверх, компенсируется теплом от При таком устройстве прибора можно считать, что тепло от нагревателя целиком передается через исследуемый образец, а сам образец не отдает тепла в сторону, так как он защищен кольцом, обогреваемым так же, как и сам образец.

С помощью термометров измеряются температуры обеих поверхностей образца.

Из измерений мощности нагревателя и разности температур коэффициент теплопроводности вычисляется по формуле

где - толщина пластины площадь ее поверхности.

Отдачу образцом тепла в сторону можно также устранить, изготовляя образец в форме полого цилиндра или сферы и помещая нагреватель на оси цилиндра или в центре сферы.